Номер 3.162, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.162. Определите промежутки знакопостоянства функции $y = f(x)$, заданной графически (рис. 79).

a) б) Рис. 79

Промежутки знакопостоянства функции — это такие промежутки из области определения, на которых функция принимает значения только одного знака (либо только положительные, либо только отрицательные).

Для нахождения этих промежутков по графику функции $y=f(x)$ необходимо:

1. Определить нули функции — точки, в которых график пересекает ось абсцисс ($Ox$), то есть $f(x)=0$. Эти точки являются границами промежутков знакопостоянства.
2. Определить промежутки, на которых график функции расположен выше оси $Ox$. На этих промежутках $f(x)>0$.
3. Определить промежутки, на которых график функции расположен ниже оси $Ox$. На этих промежутках $f(x)<0$.

а) Рассмотрим график функции на рис. 79 а.

• Область определения: График существует для $x$ от -4 до 4, включая концы. Таким образом, область определения $D(f) = [-4; 4]$.
• Нули функции: График пересекает ось $Ox$ в точках $x = -3$, $x = 1$ и $x = 3$.
• Промежутки, где $f(x) > 0$: График находится выше оси $Ox$. Это происходит на интервале $(-3; 1)$ и на полуинтервале $(3; 4]$. В точке $x=4$ функция положительна ($f(4)=2$), поэтому эта точка включается в промежуток.
• Промежутки, где $f(x) < 0$: График находится ниже оси $Ox$. Это происходит на полуинтервале $[-4; -3)$ и на интервале $(1; 3)$. В точке $x=-4$ функция отрицательна ($f(-4)=-3$), поэтому эта точка включается в промежуток.

б) Рассмотрим график функции на рис. 79 б.

• Область определения: Стрелки на концах графика показывают, что он продолжается бесконечно в обе стороны. Таким образом, область определения — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
• Нули функции: График пересекает ось $Ox$ в точках $x = -6$, $x = -2$, $x = 0$ и $x = 4$.
• Промежутки, где $f(x) > 0$: График находится выше оси $Ox$. Это происходит на интервалах $(-\infty; -6)$, $(-2; 0)$ и $(4; +\infty)$.
• Промежутки, где $f(x) < 0$: График находится ниже оси $Ox$. Это происходит на интервалах $(-6; -2)$ и $(0; 4)$.