Номер 3.161, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.161. Найдите область определения функции

$y = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$

Область определения функции $y = \sqrt{x^2 - 5x + 6}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо решить следующее неравенство:

$x^2 - 5x + 6 \ge 0$

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.

Для нахождения корней можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$x_1 + x_2 = 5$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Отсюда легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Также можно найти корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2}$

$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3$

Графиком функции $f(x) = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x=2$ и $x=3$. Следовательно, значения функции $f(x)$ неотрицательны ($f(x) \ge 0$) на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Таким образом, решением неравенства является объединение промежутков:

$x \in (-\infty; 2] \cup [3; \infty)$

Это и есть область определения исходной функции.

Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; \infty)$.