Номер 3.160, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.160. Решите неравенство $x^2 - 1 < 0$.

Для решения квадратного неравенства $x^2 - 1 < 0$ воспользуемся методом интервалов. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 1 = 0$.

Разложим левую часть уравнения на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 1)(x + 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем два корня:

• $x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
• $x + 1 = 0 \implies x_2 = -1$

Теперь отметим эти корни на числовой оси. Так как неравенство строгое ($<$), точки $x = -1$ и $x = 1$ будут выколотыми (не включаются в решение). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$ и $(1, +\infty)$.

Определим знак выражения $x^2 - 1$ на каждом из интервалов:

• Для интервала $(1, +\infty)$ возьмем пробную точку $x=2$. Подставляем: $2^2 - 1 = 3 > 0$. Знак «+».
• Для интервала $(-1, 1)$ возьмем пробную точку $x=0$. Подставляем: $0^2 - 1 = -1 < 0$. Знак «-».
• Для интервала $(-\infty, -1)$ возьмем пробную точку $x=-2$. Подставляем: $(-2)^2 - 1 = 3 > 0$. Знак «+».

Альтернативно, можно рассмотреть график функции $y = x^2 - 1$. Это парабола с ветвями, направленными вверх, которая пересекает ось $Ox$ в точках -1 и 1. Неравенство $x^2 - 1 < 0$ выполняется там, где график параболы находится ниже оси $Ox$, то есть между корнями.

Нас интересует интервал, где выражение $x^2 - 1$ отрицательно. Согласно анализу, это интервал $(-1, 1)$.

3.160. Ответ: $x \in (-1, 1)$