Номер 3.157, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.157. Найдите значение выражения

$(\sqrt{17} + 2)^2 - (5 - \sqrt{17})^2 - 14\sqrt{17}.$

Для нахождения значения данного выражения необходимо раскрыть скобки, используя формулы сокращенного умножения, а затем привести подобные слагаемые.

1. Раскроем первую скобку $(\sqrt{17} + 2)^2$.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\sqrt{17} + 2)^2 = (\sqrt{17})^2 + 2 \cdot \sqrt{17} \cdot 2 + 2^2 = 17 + 4\sqrt{17} + 4 = 21 + 4\sqrt{17}$

2. Раскроем вторую скобку $(5 - \sqrt{17})^2$.

Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(5 - \sqrt{17})^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{17} + (\sqrt{17})^2 = 25 - 10\sqrt{17} + 17 = 42 - 10\sqrt{17}$

3. Подставим полученные результаты в исходное выражение.

Исходное выражение: $(\sqrt{17} + 2)^2 - (5 - \sqrt{17})^2 - 14\sqrt{17}$.

После подстановки получаем:

$(21 + 4\sqrt{17}) - (42 - 10\sqrt{17}) - 14\sqrt{17}$

4. Упростим полученное выражение.

Раскрываем скобки. Важно помнить, что знак минус перед второй скобкой меняет знаки всех членов внутри нее на противоположные:

$21 + 4\sqrt{17} - 42 + 10\sqrt{17} - 14\sqrt{17}$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые: отдельно целые числа и отдельно слагаемые с корнем $\sqrt{17}$.

$(21 - 42) + (4\sqrt{17} + 10\sqrt{17} - 14\sqrt{17})$

Выполняем вычисления в каждой группе:

$-21 + (4+10-14)\sqrt{17}$

$-21 + 0 \cdot \sqrt{17}$

$-21 + 0 = -21$

Ответ: -21.