Номер 3.151, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.151. Выберите все верные утверждения:

а) окружность, заданная уравнением $x^2 + (y - 2)^2 = 4$, проходит через точку A(-1; 1);

б) прямая $y = 10$ является касательной к окружности $(x - 9)^2 + y^2 = 100;

в) центры окружностей, заданных уравнениями $(x + 3)^2 + (y - 7)^2 = 15$ и $(x - 3)^2 + (y + 7)^2 = 13$, симметричны относительно оси ординат.

а) окружность, заданная уравнением $x^2+(y-2)^2=4$, проходит через точку A(-1; 1);

Чтобы проверить, проходит ли окружность через данную точку, необходимо подставить координаты этой точки в уравнение окружности. Если в результате мы получим верное числовое равенство, то точка принадлежит окружности.

Подставим координаты точки A(-1; 1), где $x=-1$ и $y=1$, в уравнение окружности $x^2+(y-2)^2=4$:

$(-1)^2 + (1-2)^2 = 4$

$1 + (-1)^2 = 4$

$1 + 1 = 4$

$2 = 4$

Полученное равенство является ложным. Следовательно, точка A(-1; 1) не лежит на данной окружности.

Ответ: Утверждение неверно.

б) прямая $y=10$ является касательной к окружности $(x-9)^2+y^2=100$;

Прямая является касательной к окружности, если у них есть ровно одна общая точка. Чтобы найти общие точки, нужно решить систему уравнений:

$$\begin{cases}(x-9)^2+y^2=100 \\y=10\end{cases}$$

Подставим значение $y$ из второго уравнения в первое:

$(x-9)^2 + 10^2 = 100$

$(x-9)^2 + 100 = 100$

$(x-9)^2 = 100 - 100$

$(x-9)^2 = 0$

$x - 9 = 0$

$x = 9$

Система имеет единственное решение $(9; 10)$. Это означает, что прямая и окружность имеют одну общую точку, следовательно, прямая $y=10$ является касательной к окружности.

Другой способ — проверить, равно ли расстояние от центра окружности до прямой её радиусу. Уравнение окружности $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$ имеет центр в точке $(a;b)$ и радиус $R$. Для окружности $(x-9)^2+y^2=100$ центр — C(9; 0), а радиус $R = \sqrt{100} = 10$. Расстояние $d$ от центра C(9; 0) до горизонтальной прямой $y=10$ равно модулю разности их y-координат:$d = |10 - 0| = 10$. Так как расстояние $d=10$ равно радиусу $R=10$, прямая является касательной к окружности.

Ответ: Утверждение верно.

в) центры окружностей, заданных уравнениями $(x+3)^2+(y-7)^2=15$ и $(x-3)^2+(y+7)^2=13$, симметричны относительно оси ординат.

Сначала найдем координаты центров данных окружностей. Для первой окружности $(x+3)^2+(y-7)^2=15$ центр $C_1$ находится в точке (-3; 7). Для второй окружности $(x-3)^2+(y+7)^2=13$ центр $C_2$ находится в точке (3; -7).

Две точки $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ симметричны относительно оси ординат (оси OY), если их абсциссы противоположны по знаку, а ординаты совпадают, то есть $x_2 = -x_1$ и $y_2 = y_1$.

Проверим это условие для центров $C_1(-3; 7)$ и $C_2(3; -7)$. Сравним абсциссы: $x_1 = -3$ и $x_2 = 3$. Условие $x_2 = -x_1$ выполняется, так как $3 = -(-3)$. Сравним ординаты: $y_1 = 7$ и $y_2 = -7$. Условие $y_2 = y_1$ не выполняется, так как $-7 \neq 7$. Поскольку одно из условий не выполнено, центры окружностей не симметричны относительно оси ординат.

Ответ: Утверждение неверно.