Номер 3.150, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.150. Верно ли, что окружности, заданные уравнениями $(x-1)^2+(y+5)^2=36$ и $(x-4)^2+y^2=9$, не имеют общих точек?

Для того чтобы определить, имеют ли две окружности общие точки, нужно сравнить расстояние между их центрами с суммой и разностью их радиусов.

Общее уравнение окружности имеет вид $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра, а $R$ — радиус.

1. Параметры первой окружности

Уравнение: $(x-1)^2 + (y+5)^2 = 36$.
Из уравнения следует, что центр окружности $O_1$ имеет координаты $(1, -5)$, а ее радиус $R_1 = \sqrt{36} = 6$.

2. Параметры второй окружности

Уравнение: $(x-4)^2 + y^2 = 9$.
Центр окружности $O_2$ имеет координаты $(4, 0)$, а ее радиус $R_2 = \sqrt{9} = 3$.

3. Расстояние между центрами

Расстояние $d$ между точками $O_1(1, -5)$ и $O_2(4, 0)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$

$d = \sqrt{(4-1)^2 + (0-(-5))^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9+25} = \sqrt{34}$.

4. Анализ взаимного расположения

Теперь сравним расстояние между центрами $d$ с суммой и разностью радиусов:

• Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = 6 + 3 = 9$.
• Разность радиусов: $|R_1 - R_2| = |6 - 3| = 3$.

Окружности не имеют общих точек (не пересекаются), если расстояние между их центрами больше суммы их радиусов ($d > R_1 + R_2$) или меньше их разности ($d < |R_1 - R_2|$).

Окружности пересекаются в двух точках, если расстояние между их центрами находится в интервале между разностью и суммой их радиусов: $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.

Проверим наше условие, сравнив числа $3$, $\sqrt{34}$ и $9$.
Так как $3^2=9$ и $9^2=81$, можно записать очевидное неравенство $9 < 34 < 81$.
Извлекая квадратный корень из всех частей, получаем: $\sqrt{9} < \sqrt{34} < \sqrt{81}$, что равносильно $3 < \sqrt{34} < 9$.

Таким образом, выполняется условие $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$. Это означает, что окружности пересекаются в двух точках.

Следовательно, утверждение о том, что окружности не имеют общих точек, является неверным.

Верно ли, что окружности, заданные уравнениями $(x-1)^2+(y+5)^2=36$ и $(x-4)^2+y^2=9$, не имеют общих точек? Ответ: Неверно. Окружности имеют две общие точки пересечения.