Номер 3.143, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.143. Составьте план решения и найдите расстояние от

точки A($3; -4$) до:

а) оси абсцисс;

б) оси ординат;

в) начала координат;

г) точки B($4; -3$).

План решения задачи:

Для решения задачи необходимо использовать следующие определения и формулы аналитической геометрии на плоскости:

1. Определить, что расстояние от точки до координатной оси — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на ось. Расстояние от точки $A(x, y)$ до оси абсцисс (Ox) равно $|y|$, а до оси ординат (Oy) — $|x|$.
2. Для нахождения расстояния от точки до начала координат $O(0, 0)$ применить формулу расстояния между двумя точками. Это расстояние также является длиной радиус-вектора точки и вычисляется как $d = \sqrt{x^2 + y^2}$.
3. Для нахождения расстояния между двумя произвольными точками $A(x_A, y_A)$ и $B(x_B, y_B)$ использовать общую формулу расстояния: $d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.

Применим этот план для нахождения расстояний от точки $A(3; -4)$.

а) оси абсцисс;
Расстояние от точки до оси абсцисс (оси Ox) равно модулю её ординаты (координаты y).
Координаты точки $A(3; -4)$, её ордината $y_A = -4$.
Расстояние $d$ равно: $d = |y_A| = |-4| = 4$.
Ответ: 4.

б) оси ординат;
Расстояние от точки до оси ординат (оси Oy) равно модулю её абсциссы (координаты x).
Координаты точки $A(3; -4)$, её абсцисса $x_A = 3$.
Расстояние $d$ равно: $d = |x_A| = |3| = 3$.
Ответ: 3.

в) начала координат;
Начало координат — это точка $O(0; 0)$. Расстояние от точки $A(3; -4)$ до начала координат найдем по формуле расстояния между двумя точками.
$d = \sqrt{(x_A - x_O)^2 + (y_A - y_O)^2} = \sqrt{(3 - 0)^2 + (-4 - 0)^2}$
$d = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5.

г) точки B(4; –3).
Найдем расстояние между точками $A(3; -4)$ и $B(4; -3)$ по формуле расстояния между двумя точками.
$d = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(4 - 3)^2 + (-3 - (-4))^2}$
$d = \sqrt{1^2 + (-3 + 4)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
Ответ: $\sqrt{2}$.