Номер 3.140, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.140*. Найдите, при каких значениях числа $a$ система уравнений $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = |x| + a: \end{cases}$

а) имеет одно решение;

б) имеет два решения;

в) имеет три решения;

г) имеет четыре решения;

д) не имеет решений.

Рассмотрим данную систему уравнений:

Количество решений системы равно количеству точек пересечения графиков двух уравнений. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 25$, задает окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R=5$. Второе уравнение, $y = |x| + a$, задает график, представляющий собой "уголок" (график модуля), с вершиной в точке (0, a), ветви которого направлены вверх.

Для аналитического решения подставим второе уравнение в первое:

Так как $x^2 = |x|^2$, сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

Количество решений исходной системы зависит от количества неотрицательных корней этого квадратного уравнения относительно $t$:

• Каждый положительный корень $t > 0$ дает два решения для $x$ ( $x = t$ и $x = -t$).
• Корень $t = 0$ дает одно решение для $x$ ($x = 0$).
• Отрицательные корни $t < 0$ не дают решений для $x$, так как $|x| \ge 0$.

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

Действительные корни $t$ существуют при $D \ge 0$, то есть $50 - a^2 \ge 0$, что эквивалентно $a^2 \le 50$, или $-5\sqrt{2} \le a \le 5\sqrt{2}$.

Проанализируем количество решений для каждого случая.

а) имеет одно решение;Система имеет одно решение, если уравнение для $t$ имеет единственный неотрицательный корень $t=0$. Это происходит, когда произведение корней равно нулю ($P=0$), а второй корень отрицателен (сумма корней $S<0$). Произведение корней: $P = \frac{a^2 - 25}{2} = 0 \implies a = \pm 5$. Сумма корней: $S = -a$. Если $a=5$, то $S = -5 < 0$. Корни $t_1=0, t_2=-5$. Только $t=0$ является решением, что дает $x=0$. Это одно решение системы. Если $a=-5$, то $S = 5 > 0$, что не подходит. Ответ: $a=5$.

б) имеет два решения;Система имеет два решения в двух случаях:1. Уравнение для $t$ имеет один положительный и один отрицательный корень. Это требует $P < 0$, то есть $\frac{a^2-25}{2} < 0 \implies a^2 < 25 \implies -5 < a < 5$.2. Уравнение для $t$ имеет один кратный положительный корень. Это требует $D=0$ и $S>0$.$D=0 \implies a = \pm 5\sqrt{2}$. Корень $t = -a/2$.$S = -a > 0 \implies a < 0$. Следовательно, подходит $a = -5\sqrt{2}$. Ответ: $a \in \{-5\sqrt{2}\} \cup (-5, 5)$.

в) имеет три решения;Система имеет три решения, если уравнение для $t$ имеет один корень $t=0$ и один положительный корень. Это требует $P=0$ и $S>0$.$P=0 \implies a = \pm 5$.$S = -a > 0 \implies a < 0$. Обоим условиям удовлетворяет $a = -5$. Корни для $t$ в этом случае $t_1=0$ и $t_2=5$. $|x|=0$ дает одно решение, $|x|=5$ дает два решения. Итого три. Ответ: $a = -5$.

г) имеет четыре решения;Система имеет четыре решения, если уравнение для $t$ имеет два различных положительных корня. Это требует $D>0$, $P>0$ и $S>0$.1. $D > 0 \implies -5\sqrt{2} < a < 5\sqrt{2}$.2. $P = \frac{a^2-25}{2} > 0 \implies a < -5$ или $a > 5$.3. $S = -a > 0 \implies a < 0$. Пересечение этих трех условий дает интервал $a \in (-5\sqrt{2}, -5)$. Ответ: $a \in (-5\sqrt{2}, -5)$.

д) не имеет решений.Система не имеет решений, если уравнение для $t$ не имеет неотрицательных корней.1. Нет действительных корней: $D < 0 \implies a^2 > 50 \implies a \in (-\infty, -5\sqrt{2}) \cup (5\sqrt{2}, \infty)$.2. Оба корня отрицательны: $D \ge 0$, $P>0$, $S<0$. $P>0 \implies a \in (-\infty, -5) \cup (5, \infty)$. $S<0 \implies a > 0$. Совместно с $D \ge 0$ это дает $a \in (5, 5\sqrt{2}]$.3. Графически, если $a>5$, вершина "уголка" (0,a) находится выше самой высокой точки окружности (0,5), поэтому пересечений нет. Объединяя все случаи, получаем, что решений нет при $a > 5$ и $a < -5\sqrt{2}$. Ответ: $a \in (-\infty, -5\sqrt{2}) \cup (5, \infty)$.