Номер 3.139, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.139. Определите число решений системы уравнений:

а) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ xy = -3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + (y + 3)^2 = 25, \\ y = x^3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = -x^2 + 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 36, \\ (x - 5)^2 + (y - 4)^2 = 1. \end{cases}$

Для определения числа решений каждой системы уравнений мы можем использовать алгебраический или графический метод. Графический метод заключается в нахождении числа точек пересечения графиков, соответствующих уравнениям системы.

а) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ xy = -3 \end{cases} $$ Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 9$, задает окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = 3$.
Второе уравнение, $xy = -3$ или $y = -3/x$, задает гиперболу, ветви которой находятся во второй и четвертой координатных четвертях.

Для нахождения числа решений решим систему алгебраически. Из второго уравнения выразим $y$: $$ y = -\frac{3}{x} $$ Подставим это выражение в первое уравнение: $$ x^2 + \left(-\frac{3}{x}\right)^2 = 9 $$ $$ x^2 + \frac{9}{x^2} = 9 $$ Умножим все члены уравнения на $x^2$ (отметим, что $x \neq 0$): $$ x^4 + 9 = 9x^2 $$ $$ x^4 - 9x^2 + 9 = 0 $$ Введем замену $t = x^2$. Так как $x^2 \ge 0$, то $t \ge 0$. Уравнение примет вид: $$ t^2 - 9t + 9 = 0 $$ Найдем корни этого квадратного уравнения с помощью дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 81 - 36 = 45 $$ Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня: $$ t_{1,2} = \frac{9 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{9 \pm 3\sqrt{5}}{2} $$ Оба корня положительны ($t_1 > 0$ и $t_2 > 0$), так как $9 > \sqrt{45}$.
Поскольку $t=x^2$, для каждого положительного значения $t$ мы получаем два значения $x$: $x = \pm\sqrt{t}$. Таким образом, мы имеем четыре различных действительных значения для $x$. Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y = -3/x$. Следовательно, система имеет четыре решения.

Ответ: 4

б) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + (y+3)^2 = 25 \\ y = x^3 \end{cases} $$ Первое уравнение, $x^2 + (y+3)^2 = 25$, — это уравнение окружности с центром в точке $C(0, -3)$ и радиусом $R=5$.
Второе уравнение, $y = x^3$, задает кубическую параболу, которая проходит через начало координат и является монотонно возрастающей.

Проанализируем взаимное расположение графиков. Кубическая парабола приходит из $-\infty$ и уходит в $+\infty$, поэтому она должна пересечь ограниченную фигуру — окружность. Проверим, проходит ли кривая через внутреннюю область окружности. Например, точка $(0,0)$ лежит на кривой $y=x^3$. Подставим ее в левую часть уравнения окружности: $0^2+(0+3)^2=9$. Так как $9 < 25$, точка $(0,0)$ находится внутри окружности.

Поскольку кривая $y=x^3$ неограничена и проходит через внутреннюю область окружности, она должна пересечь ее как минимум в двух точках (одна точка "входа", одна "выхода").
Так как функция $y=x^3$ является строго монотонной, она может пересечь окружность не более чем в двух точках.
Следовательно, графики пересекаются ровно в двух точках.

Ответ: 2

в) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = -x^2 + 3 \end{cases} $$ Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 4$, — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=2$.
Второе уравнение, $y = -x^2 + 3$, — это уравнение параболы с вершиной в точке $(0, 3)$, ветви которой направлены вниз.

Вершина параболы $(0, 3)$ находится над верхней точкой окружности $(0, 2)$. Так как ветви параболы направлены вниз, она пересечет окружность. Решим систему, чтобы найти точное количество точек пересечения.

Из второго уравнения выразим $x^2 = 3-y$ и подставим в первое: $$ (3-y) + y^2 = 4 $$ $$ y^2 - y - 1 = 0 $$ Решим квадратное уравнение относительно $y$: $$ D = (-1)^2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5 $$ $$ y_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $$ Получили два различных действительных значения для $y$. Проверим, соответствуют ли им действительные значения $x$ из уравнения $x^2 = 3-y$.

1. Для $y_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.62$:
   $x^2 = 3 - \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = \frac{5 - \sqrt{5}}{2} > 0$. Это дает два решения для $x$: $x = \pm\sqrt{\frac{5 - \sqrt{5}}{2}}$.
2. Для $y_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx -0.62$:
   $x^2 = 3 - \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = \frac{5 + \sqrt{5}}{2} > 0$. Это дает еще два решения для $x$: $x = \pm\sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}$.

Каждому из двух значений $y$ соответствуют два значения $x$. Таким образом, система имеет 4 решения.

Ответ: 4

г) Рассмотрим систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 36 \\ (x-5)^2 + (y-4)^2 = 1 \end{cases} $$ Оба уравнения задают окружности.

• Первая окружность: $x^2 + y^2 = 6^2$. Центр $C_1(0, 0)$, радиус $R_1 = 6$.
• Вторая окружность: $(x-5)^2 + (y-4)^2 = 1^2$. Центр $C_2(5, 4)$, радиус $R_2 = 1$.

Число решений системы равно числу точек пересечения этих двух окружностей. Оно зависит от соотношения между расстоянием между центрами $d$ и радиусами $R_1, R_2$.

Найдем расстояние $d$ между центрами $C_1$ и $C_2$: $$ d = \sqrt{(5-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{25+16} = \sqrt{41} $$ Найдем сумму и разность радиусов: $$ R_1 + R_2 = 6 + 1 = 7 $$ $$ |R_1 - R_2| = |6 - 1| = 5 $$ Сравним $d$ с этими значениями. Так как $36 < 41 < 49$, то $6 < \sqrt{41} < 7$. Получаем, что $5 < \sqrt{41} < 7$, то есть выполняется неравенство $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$. Это условие означает, что окружности пересекаются в двух различных точках.

Ответ: 2