Номер 3.138, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.138. Решите систему уравнений, используя графический метод:

a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x - y = 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = x^2 + 3; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ (x - 2)^2 + y^2 = 36. \end{cases}$

Выполните проверку.

а) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ x - y = 4; \end{cases} $
1. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 16$, является уравнением окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{16} = 4$.
2. Второе уравнение, $x - y = 4$, является уравнением прямой. Выразим $y$: $y = x - 4$. Для построения прямой найдем две точки. Например, если $x=0$, то $y=-4$ (точка $(0, -4)$), и если $x=4$, то $y=0$ (точка $(4, 0)$).
3. Построим графики этих уравнений на одной координатной плоскости. Точки пересечения графиков и будут решениями системы.
Из построения видно, что окружность и прямая пересекаются в точках $(4, 0)$ и $(0, -4)$.

Проверка:
Для точки $(4, 0)$:
$4^2 + 0^2 = 16 \Rightarrow 16 = 16$ (верно)
$4 - 0 = 4 \Rightarrow 4 = 4$ (верно)

Для точки $(0, -4)$:
$0^2 + (-4)^2 = 16 \Rightarrow 16 = 16$ (верно)
$0 - (-4) = 4 \Rightarrow 4 = 4$ (верно)
Оба решения верны.
Ответ: $(4, 0)$, $(0, -4)$.

б) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = x^2 + 3; \end{cases} $
1. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 9$, — это уравнение окружности с центром в точке $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.
2. Второе уравнение, $y = x^2 + 3$, — это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 3)$.
3. Построим графики. Окружность проходит через точки $(3,0), (-3,0), (0,3), (0,-3)$. Вершина параболы $(0, 3)$ совпадает с верхней точкой окружности. Так как ветви параболы направлены вверх, другие точки параболы (например, при $x=1, y=4$) будут лежать вне окружности. Следовательно, графики имеют только одну общую точку.

Проверка:
Для точки $(0, 3)$:
$0^2 + 3^2 = 9 \Rightarrow 9 = 9$ (верно)
$3 = 0^2 + 3 \Rightarrow 3 = 3$ (верно)
Решение верно.
Ответ: $(0, 3)$.

в) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = 12; \end{cases} $
1. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 25$, — это уравнение окружности с центром в $(0, 0)$ и радиусом $r = \sqrt{25} = 5$.
2. Второе уравнение, $xy = 12$ или $y = 12/x$, — это уравнение гиперболы, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях.
3. Построим графики. Окружность и гипербола симметричны относительно начала координат. Они пересекутся в четырех точках. В первой четверти ищем точки с положительными координатами, произведение которых равно 12, а сумма квадратов — 25. Это пары чисел 3 и 4. Таким образом, получаем точки $(3, 4)$ и $(4, 3)$. В силу симметрии, в третьей четверти будут точки $(-3, -4)$ и $(-4, -3)$.

Проверка:
Для точки $(3, 4)$:
$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$ (верно)
$3 \cdot 4 = 12$ (верно)

Для точки $(4, 3)$:
$4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ (верно)
$4 \cdot 3 = 12$ (верно)

Для точки $(-3, -4)$:
$(-3)^2 + (-4)^2 = 9 + 16 = 25$ (верно)
$(-3) \cdot (-4) = 12$ (верно)

Для точки $(-4, -3)$:
$(-4)^2 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$ (верно)
$(-4) \cdot (-3) = 12$ (верно)
Все решения верны.
Ответ: $(3, 4)$, $(4, 3)$, $(-3, -4)$, $(-4, -3)$.

г) Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 16, \\ (x-2)^2 + y^2 = 36; \end{cases} $
1. Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 16$, — это уравнение окружности с центром в точке $C_1(0, 0)$ и радиусом $r_1 = \sqrt{16} = 4$.
2. Второе уравнение, $(x-2)^2 + y^2 = 36$, — это уравнение окружности с центром в точке $C_2(2, 0)$ и радиусом $r_2 = \sqrt{36} = 6$.
3. Построим обе окружности. Расстояние между их центрами $d$ равно расстоянию между точками $(0,0)$ и $(2,0)$, то есть $d = 2$. Разность радиусов окружностей равна $r_2 - r_1 = 6 - 4 = 2$.
Так как расстояние между центрами равно разности их радиусов ($d = r_2 - r_1$), окружности касаются внутренним образом. Точка касания лежит на прямой, соединяющей центры, то есть на оси Ox.
Найдем точку касания. Можно решить систему аналитически. Вычтем из второго уравнения первое:
$((x-2)^2 + y^2) - (x^2 + y^2) = 36 - 16$
$(x^2 - 4x + 4 + y^2) - x^2 - y^2 = 20$
$-4x + 4 = 20$
$-4x = 16$
$x = -4$
Подставим $x = -4$ в первое уравнение:
$(-4)^2 + y^2 = 16$
$16 + y^2 = 16$
$y^2 = 0 \Rightarrow y = 0$
Таким образом, точка пересечения (касания) — $(-4, 0)$.

Проверка:
Для точки $(-4, 0)$:
$(-4)^2 + 0^2 = 16 \Rightarrow 16 = 16$ (верно)
$(-4 - 2)^2 + 0^2 = (-6)^2 = 36 \Rightarrow 36 = 36$ (верно)
Решение верно.
Ответ: $(-4, 0)$.