Номер 3.142, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.142. Найдите расстояние между точками:

a) $M(-1; -2)$ и $N(3; 4);$

б) $F(-5; 0)$ и $K(-6; 1);$

в) $B(3; \sqrt{7})$ и $D(0; 0).$

Для нахождения расстояния $d$ между двумя точками с координатами $A(x_1, y_1)$ и $B(x_2, y_2)$ на координатной плоскости используется формула расстояния, которая является следствием теоремы Пифагора:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Применим эту формулу для решения каждого пункта задачи.

а) Найдем расстояние между точками $M(-1; -2)$ и $N(3; 4)$.

Пусть $(x_1, y_1) = (-1, -2)$ и $(x_2, y_2) = (3, 4)$.

Подставим эти значения в формулу:

$d(M,N) = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (4 - (-2))^2}$

Выполним вычисления в скобках:

$d(M,N) = \sqrt{(3 + 1)^2 + (4 + 2)^2} = \sqrt{4^2 + 6^2}$

Возведем в квадрат и сложим:

$d(M,N) = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}$

Теперь упростим корень. Разложим 52 на множители: $52 = 4 \cdot 13$.

$d(M,N) = \sqrt{4 \cdot 13} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13} = 2\sqrt{13}$

Ответ: $2\sqrt{13}$.

б) Найдем расстояние между точками $F(-5; 0)$ и $K(-6; 1)$.

Пусть $(x_1, y_1) = (-5, 0)$ и $(x_2, y_2) = (-6, 1)$.

Подставим значения в формулу:

$d(F,K) = \sqrt{(-6 - (-5))^2 + (1 - 0)^2}$

Выполним вычисления:

$d(F,K) = \sqrt{(-6 + 5)^2 + 1^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2}$

$d(F,K) = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

Ответ: $\sqrt{2}$.

в) Найдем расстояние между точками $B(3; \sqrt{7})$ и $D(0; 0)$.

Пусть $(x_1, y_1) = (3, \sqrt{7})$ и $(x_2, y_2) = (0, 0)$.

Подставим значения в формулу:

$d(B,D) = \sqrt{(0 - 3)^2 + (0 - \sqrt{7})^2}$

Выполним вычисления:

$d(B,D) = \sqrt{(-3)^2 + (-\sqrt{7})^2}$

Возведем в квадрат и сложим. Напомним, что $(\sqrt{a})^2 = a$.

$d(B,D) = \sqrt{9 + 7} = \sqrt{16}$

Извлечем корень:

$d(B,D) = 4$

Ответ: 4.