Номер 3.148, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.148. Дана окружность $(x+5)^2 + (y-3)^2 = 16$. Запишите уравнение окружности, центр которой симметричен центру данной окружности относительно:

а) начала координат, а радиус которой равен радиусу данной окружности;

б) оси ординат, а радиус которой в два раза меньше радиуса данной окружности;

в) оси абсцисс, а радиус которой в три раза больше радиуса данной окружности.

Стандартное уравнение окружности имеет вид $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — её радиус.

В данной задаче нам дано уравнение окружности $(x+5)^2 + (y-3)^2 = 16$.

Сравнивая его со стандартным видом, мы можем определить координаты центра и радиус данной окружности:

• Координаты центра $C_0$: $(x - (-5))^2 + (y - 3)^2 = 16$, следовательно, центр находится в точке $C_0(-5, 3)$.
• Радиус $R_0$: $R^2 = 16$, следовательно, радиус $R_0 = \sqrt{16} = 4$.

Теперь найдем уравнения новых окружностей согласно условиям.

а) центр которой симметричен центру данной окружности относительно начала координат, а радиус которой равен радиусу данной окружности;
Найдем координаты нового центра $C_a$. Точка, симметричная точке $(x_0, y_0)$ относительно начала координат $(0,0)$, имеет координаты $(-x_0, -y_0)$.
Для центра $C_0(-5, 3)$ симметричный центр $C_a$ будет иметь координаты $(-(-5), -3)$, то есть $C_a(5, -3)$.
Радиус новой окружности $R_a$ равен радиусу исходной: $R_a = R_0 = 4$.
Подставляем координаты нового центра и радиус в стандартное уравнение окружности:
$(x - 5)^2 + (y - (-3))^2 = 4^2$
Ответ: $(x-5)^2+(y+3)^2=16$

б) оси ординат, а радиус которой в два раза меньше радиуса данной окружности;
Найдем координаты нового центра $C_б$. Точка, симметричная точке $(x_0, y_0)$ относительно оси ординат (оси OY), имеет координаты $(-x_0, y_0)$.
Для центра $C_0(-5, 3)$ симметричный центр $C_б$ будет иметь координаты $(-(-5), 3)$, то есть $C_б(5, 3)$.
Радиус новой окружности $R_б$ в два раза меньше радиуса исходной: $R_б = R_0 / 2 = 4 / 2 = 2$.
Подставляем координаты нового центра и радиус в стандартное уравнение окружности:
$(x - 5)^2 + (y - 3)^2 = 2^2$
Ответ: $(x-5)^2+(y-3)^2=4$

в) оси абсцисс, а радиус которой в три раза больше радиуса данной окружности.
Найдем координаты нового центра $C_в$. Точка, симметричная точке $(x_0, y_0)$ относительно оси абсцисс (оси OX), имеет координаты $(x_0, -y_0)$.
Для центра $C_0(-5, 3)$ симметричный центр $C_в$ будет иметь координаты $(-5, -3)$.
Радиус новой окружности $R_в$ в три раза больше радиуса исходной: $R_в = R_0 \times 3 = 4 \times 3 = 12$.
Подставляем координаты нового центра и радиус в стандартное уравнение окружности:
$(x - (-5))^2 + (y - (-3))^2 = 12^2$
Ответ: $(x+5)^2+(y+3)^2=144$