Номер 3.154, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.154. Решите систему неравенств $\begin{cases} x^2 \le 1, \\ x^2 + 5x + 4 \le 0. \end{cases}$

Для решения системы неравенств необходимо найти множество решений для каждого неравенства и затем найти пересечение этих множеств.

Решение первого неравенства $x^2 \le 1$

Перепишем неравенство в виде $x^2 - 1 \le 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-1)(x+1) \le 0$.

Корнями уравнения $(x-1)(x+1)=0$ являются $x_1=-1$ и $x_2=1$.

Графиком функции $y=x^2-1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции не положительны (меньше или равны нулю) на отрезке между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [-1, 1]$.

Решение второго неравенства $x^2+5x+4 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2+5x+4 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-5-\sqrt{9}}{2} = \frac{-5-3}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-5+\sqrt{9}}{2} = \frac{-5+3}{2} = -1$

Графиком функции $y=x^2+5x+4$ также является парабола с ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями, включая их.

Ответ: $x \in [-4, -1]$.

Нахождение решения системы

Решением системы является пересечение множеств решений обоих неравенств:

$[-1, 1] \cap [-4, -1]$

Изобразив оба отрезка на числовой оси, мы видим, что их единственной общей точкой является число -1.

Ответ: $\{-1\}$.