Номер 3.152, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.152. Решите систему уравнений, используя графический метод:

a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ x + y = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ (x - 4)^2 + y^2 = 25. \end{cases}$

Выполните проверку.

а) Для решения системы уравнений графическим методом построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ x + y = 2 \end{cases} $$

1. Графиком уравнения $x^2 + y^2 = 4$ является окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $r = \sqrt{4} = 2$.

2. Графиком уравнения $x + y = 2$ является прямая. Для ее построения найдем две точки. Выразим $y = 2 - x$.
При $x=0$, $y=2$. Точка (0, 2).
При $x=2$, $y=0$. Точка (2, 0).

Построив окружность и прямую, находим их точки пересечения: (2, 0) и (0, 2).

Выполните проверку:

Проверим точку (2, 0):
$2^2 + 0^2 = 4+0 = 4$ (верно)
$2 + 0 = 2$ (верно)
Пара (2, 0) является решением системы.

Проверим точку (0, 2):
$0^2 + 2^2 = 0+4 = 4$ (верно)
$0 + 2 = 2$ (верно)
Пара (0, 2) является решением системы.

Ответ: (2; 0), (0; 2).

б) Для решения системы уравнений графическим методом построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ (x - 4)^2 + y^2 = 25 \end{cases} $$

1. Графиком уравнения $x^2 + y^2 = 9$ является окружность с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $r_1 = \sqrt{9} = 3$.

2. Графиком уравнения $(x - 4)^2 + y^2 = 25$ является окружность с центром в точке (4, 0) и радиусом $r_2 = \sqrt{25} = 5$.

Построим обе окружности. Точки их пересечения являются решениями системы. Из графика видно, что окружности пересекаются в двух точках. Для нахождения их точных координат решим систему аналитически. Вычтем из второго уравнения первое:

$((x - 4)^2 + y^2) - (x^2 + y^2) = 25 - 9$
$x^2 - 8x + 16 + y^2 - x^2 - y^2 = 16$
$-8x + 16 = 16$
$-8x = 0$
$x = 0$

Подставим найденное значение $x=0$ в первое уравнение:

$0^2 + y^2 = 9$
$y^2 = 9$
$y_1 = 3, y_2 = -3$

Точки пересечения: (0, 3) и (0, -3).

Выполните проверку:

Проверим точку (0, 3):
$0^2 + 3^2 = 0+9 = 9$ (верно)
$(0-4)^2 + 3^2 = 16+9 = 25$ (верно)
Пара (0, 3) является решением системы.

Проверим точку (0, -3):
$0^2 + (-3)^2 = 0+9 = 9$ (верно)
$(0-4)^2 + (-3)^2 = 16+9 = 25$ (верно)
Пара (0, -3) является решением системы.

Ответ: (0; 3), (0; -3).