Номер 3.156, страница 182 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.156. Длину участка увеличили на $10 \%$, а ширину уменьшили на несколько процентов. В результате площадь участка уменьшилась на $1 \%$. Найдите, на сколько процентов уменьшили ширину участка.

Обозначим первоначальную длину участка как $L$, а первоначальную ширину как $W$. Тогда первоначальная площадь участка $S$ равна:

$$ S = L \cdot W $$

Длину участка увеличили на 10%. Новая длина $L_1$ составит 110% от первоначальной:

$$ L_1 = L \cdot (1 + \frac{10}{100}) = 1.1L $$

Ширину участка уменьшили на $x$ процентов. Новая ширина $W_1$ составит $(100 - x)\%$ от первоначальной:

$$ W_1 = W \cdot \left(1 - \frac{x}{100}\right) $$

Новая площадь участка $S_1$ является произведением новой длины и новой ширины:

$$ S_1 = L_1 \cdot W_1 = 1.1L \cdot W \left(1 - \frac{x}{100}\right) $$

Согласно условию, итоговая площадь уменьшилась на 1%. Это означает, что новая площадь $S_1$ составляет $100\% - 1\% = 99\%$ от первоначальной площади $S$:

$$ S_1 = S \cdot (1 - \frac{1}{100}) = 0.99S = 0.99LW $$

Теперь приравняем два полученных выражения для новой площади $S_1$:

$$ 1.1LW \left(1 - \frac{x}{100}\right) = 0.99LW $$

Поскольку $L > 0$ и $W > 0$, мы можем сократить обе части уравнения на $LW$:

$$ 1.1 \left(1 - \frac{x}{100}\right) = 0.99 $$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Разделим обе части на 1.1:

$$ 1 - \frac{x}{100} = \frac{0.99}{1.1} $$

Для удобства вычислений представим десятичные дроби в виде обыкновенных:

$$ 1 - \frac{x}{100} = \frac{99/100}{11/10} = \frac{99}{100} \cdot \frac{10}{11} = \frac{9 \cdot 11 \cdot 10}{10 \cdot 10 \cdot 11} = \frac{9}{10} $$

Теперь выразим $\frac{x}{100}$:

$$ \frac{x}{100} = 1 - \frac{9}{10} = \frac{10}{10} - \frac{9}{10} = \frac{1}{10} $$

Отсюда находим $x$:

$$ x = \frac{100}{10} = 10 $$

Следовательно, ширину участка уменьшили на 10 процентов.

Ответ: ширину участка уменьшили на 10 процентов.