Номер 3.153, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.153. Используйте графики уравнений и определите число решений системы уравнений:

a) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 36, \\ xy = -8; \end{cases}$ б) $\begin{cases} x^2 + (y+2)^2 = 16, \\ y = x^2 - 5. \end{cases}$

a) Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 36 \\ xy = -8 \end{cases} $$

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 36$, является уравнением окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{36} = 6$.

Второе уравнение, $xy = -8$, можно представить в виде функции $y = -8/x$. Это уравнение гиперболы, ветви которой расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат $x=0$ и $y=0$.

Число решений системы уравнений равно числу точек пересечения графиков этих двух функций. Построим эскизы графиков. Окружность с радиусом 6 занимает все четыре координатные четверти. Гипербола $y = -8/x$ имеет две ветви, одну во второй четверти ($x<0, y>0$) и одну в четвертой ($x>0, y<0$).

Найдем минимальное расстояние от начала координат до точек гиперболы. Это расстояние достигается в точках, где $|x|=|y|$. Подставляя $y=-x$ в уравнение гиперболы, получаем $-x^2=-8$, то есть $x^2=8$. Минимальное расстояние от начала координат до гиперболы равно $\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{8+8} = \sqrt{16} = 4$.

Поскольку радиус окружности $R=6$ больше, чем минимальное расстояние от начала координат до гиперболы (которое равно 4), окружность пересекает каждую из двух ветвей гиперболы в двух точках. Таким образом, общее количество точек пересечения равно 4.

Ответ: 4

б) Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + (y+2)^2 = 16 \\ y = x^2 - 5 \end{cases} $$

Первое уравнение, $x^2 + (y+2)^2 = 16$, является уравнением окружности с центром в точке $(0, -2)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

Второе уравнение, $y = x^2 - 5$, является уравнением параболы. Вершина этой параболы находится в точке $(0, -5)$, а ее ветви направлены вверх.

Для определения числа решений системы найдем количество точек пересечения графиков этих уравнений. Проверим взаимное расположение графиков. Определим, где находится вершина параболы $(0, -5)$ относительно окружности. Для этого подставим ее координаты в левую часть уравнения окружности:

$x^2 + (y+2)^2 = 0^2 + (-5+2)^2 = (-3)^2 = 9$.

Так как полученное значение $9$ меньше квадрата радиуса $16$ ($9 < 16$), вершина параболы находится внутри окружности.

Парабола, вершина которой лежит внутри окружности, а ветви направлены вверх, обязательно пересечет окружность. Поскольку и окружность, и парабола симметричны относительно оси OY, точки пересечения также будут симметричны. Следовательно, таких точек будет две.

Ответ: 2