Номер 3.155, страница 181 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.155. Решите совокупность неравенств $ \begin{cases} x^2 \le 1, \\ x^2 + 5x + 4 \le 0. \end{cases} $

Для решения совокупности неравенств, обозначенной квадратной скобкой, необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем объединить их решения. Объединение множеств означает, что итоговое решение будет включать все значения переменной, удовлетворяющие хотя бы одному из неравенств.

1. Решим первое неравенство $x^2 \le 1$

Перенесем 1 в левую часть неравенства, чтобы получить выражение, сравниваемое с нулем:

$x^2 - 1 \le 0$

Разложим левую часть на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(x - 1)(x + 1) \le 0$

Найдем корни соответствующего уравнения $(x - 1)(x + 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Эти корни разбивают числовую ось на три интервала. Мы можем определить знак выражения $(x - 1)(x + 1)$ в каждом интервале. Графиком функции $y = x^2 - 1$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, значения функции будут меньше или равны нулю на отрезке между корнями.

Таким образом, решение первого неравенства: $x \in [-1, 1]$.

2. Решим второе неравенство $x^2 + 5x + 4 \le 0$

Сначала найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 5x + 4 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета.

Используем теорему Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -5$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 4$. Легко подобрать корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = -1$.

Теперь мы можем разложить квадратный трехчлен на множители:

$(x - (-4))(x - (-1)) \le 0$

$(x + 4)(x + 1) \le 0$

Графиком функции $y = x^2 + 5x + 4$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции будут меньше или равны нулю на отрезке между корнями.

Таким образом, решение второго неравенства: $x \in [-4, -1]$.

3. Найдем решение совокупности

Решением исходной совокупности является объединение множеств решений, найденных для каждого неравенства:

$S_1 = [-1, 1]$

$S_2 = [-4, -1]$

Объединение множеств: $S = S_1 \cup S_2 = [-1, 1] \cup [-4, -1]$.

На числовой оси эти два отрезка соприкасаются в точке $x = -1$. Их объединение представляет собой один непрерывный отрезок от наименьшего значения до наибольшего.

Ответ: $x \in [-4, 1]$.