Номер 3.145, страница 180 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.145. Определите, верно ли, что:

а) центром окружности, заданной уравнением $(x-3)^2+(y+7)^2=16$, является точка $(-3; 7)$;

б) центром окружности, заданной уравнением $x^2+(y-5)^2=36$, является точка $(5; 0)$;

в) центром окружности, заданной уравнением $x^2+y^2=1$, является точка $(0; 0)$;

г) радиус окружности, заданной уравнением $(x+2)^2+y^2=4$, равен 4?

Для решения задачи воспользуемся каноническим уравнением окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$:

$(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$

Сравнивая уравнение из каждого пункта с этой формулой, мы можем определить координаты центра $(a; b)$ и радиус $R$.

а) центром окружности, заданной уравнением $(x - 3)^2 + (y + 7)^2 = 16$, является точка $(-3; 7);

В данном уравнении $(x - 3)^2 + (y + 7)^2 = 16$ член $(x - 3)^2$ соответствует $(x - a)^2$, откуда $a = 3$.
Член $(y + 7)^2$ можно переписать как $(y - (-7))^2$, что соответствует $(y - b)^2$, откуда $b = -7$.
Следовательно, центр окружности находится в точке $(3; -7)$.
Утверждение, что центр находится в точке $(-3; 7)$, является неверным.

Ответ: неверно.

б) центром окружности, заданной уравнением $x^2 + (y - 5)^2 = 36$, является точка $(5; 0);

Перепишем уравнение $x^2 + (y - 5)^2 = 36$ в каноническом виде: $(x - 0)^2 + (y - 5)^2 = 36$.
Сравнивая с общей формулой, получаем, что $a = 0$ и $b = 5$.
Следовательно, центр окружности находится в точке $(0; 5)$.
Утверждение, что центр находится в точке $(5; 0)$, является неверным.

Ответ: неверно.

в) центром окружности, заданной уравнением $x^2 + y^2 = 1$, является точка $(0; 0);

Перепишем уравнение $x^2 + y^2 = 1$ в каноническом виде: $(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 1$.
Сравнивая с общей формулой, получаем, что $a = 0$ и $b = 0$.
Следовательно, центр окружности находится в точке $(0; 0)$, что совпадает с началом координат.
Утверждение является верным.

Ответ: верно.

г) радиус окружности, заданной уравнением $(x + 2)^2 + y^2 = 4$, равен 4?

В каноническом уравнении окружности правая часть равна квадрату радиуса, $R^2$.
В данном уравнении $(x + 2)^2 + y^2 = 4$ правая часть равна 4. Таким образом, $R^2 = 4$.
Чтобы найти радиус $R$, нужно извлечь квадратный корень из 4:
$R = \sqrt{4} = 2$.
Радиус окружности равен 2.
Утверждение, что радиус равен 4, является неверным.

Ответ: неверно.