Номер 3.135, страница 179 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.135. В одной системе координат постройте окружности, заданные уравнениями $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 4$; $x^2 + y^2 = 9$; $(x + 4)^2 + y^2 = 25$. Сколько точек пересечения имеют каждые две из них?

Для решения задачи сначала определим параметры каждой окружности: центр $C(a, b)$ и радиус $R$ из общего уравнения окружности $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$.

• Окружность 1: Уравнение $(x-3)^2 + (y+2)^2 = 4$. Центр находится в точке $C_1(3, -2)$, а радиус $R_1 = \sqrt{4} = 2$.
• Окружность 2: Уравнение $x^2 + y^2 = 9$. Центр находится в начале координат $C_2(0, 0)$, а радиус $R_2 = \sqrt{9} = 3$.
• Окружность 3: Уравнение $(x+4)^2 + y^2 = 25$. Центр находится в точке $C_3(-4, 0)$, а радиус $R_3 = \sqrt{25} = 5$.

Первая часть задачи, построение окружностей, помогает визуализировать их взаимное расположение. Вторая часть задачи — найти количество точек пересечения для каждой пары окружностей. Для этого мы будем использовать аналитический метод.

Количество точек пересечения двух окружностей зависит от соотношения между расстоянием $d$ между их центрами и суммой/разностью их радиусов ($R_a$ и $R_b$):

• Две точки пересечения: $|R_a - R_b| < d < R_a + R_b$.
• Одна точка касания: $d = R_a + R_b$ (внешнее касание) или $d = |R_a - R_b|$ (внутреннее касание).
• Нет точек пересечения: $d > R_a + R_b$ (окружности разделены) или $d < |R_a - R_b|$ (одна окружность внутри другой).

Теперь рассмотрим каждую пару окружностей.

Находим расстояние $d_{12}$ между центрами $C_1(3, -2)$ и $C_2(0, 0)$:
$d_{12} = \sqrt{(3-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}$.
Сумма радиусов $R_1+R_2 = 2+3 = 5$.
Модуль разности радиусов $|R_1-R_2| = |2-3| = 1$.
Сравниваем: $1 < \sqrt{13} < 5$ (так как $1^2=1$, $(\sqrt{13})^2=13$, $5^2=25$, и $1 < 13 < 25$).
Поскольку расстояние между центрами больше разности радиусов и меньше их суммы, окружности пересекаются в двух точках.
Ответ: 2

Находим расстояние $d_{13}$ между центрами $C_1(3, -2)$ и $C_3(-4, 0)$:
$d_{13} = \sqrt{(3-(-4))^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{7^2 + (-2)^2} = \sqrt{49+4} = \sqrt{53}$.
Сумма радиусов $R_1+R_3 = 2+5 = 7$.
Модуль разности радиусов $|R_1-R_3| = |2-5| = 3$.
Сравниваем: $d_{13} = \sqrt{53} \approx 7.28$.
Поскольку $d_{13} > R_1+R_3$ (так как $\sqrt{53} > \sqrt{49}=7$), окружности расположены одна вне другой и не пересекаются.
Ответ: 0

Находим расстояние $d_{23}$ между центрами $C_2(0, 0)$ и $C_3(-4, 0)$:
$d_{23} = \sqrt{(-4-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{16} = 4$.
Сумма радиусов $R_2+R_3 = 3+5 = 8$.
Модуль разности радиусов $|R_2-R_3| = |3-5| = 2$.
Сравниваем: $2 < 4 < 8$.
Поскольку расстояние между центрами больше разности радиусов и меньше их суммы, окружности пересекаются в двух точках.
Ответ: 2