Номер 3.132, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.132. Дана окружность $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 36$. Запишите уравнение окружности, центр которой симметричен центру данной окружности относительно:

а) начала координат, а радиус которой равен радиусу данной окружности;

б) оси ординат, а радиус которой в три раза меньше радиуса данной окружности;

в) оси абсцисс, а радиус которой в два раза больше радиуса данной окружности.

Рис. 78

Сначала определим параметры исходной окружности, заданной уравнением $(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 36$.

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — это координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус.

Сравнивая с данным уравнением, находим:

• Координаты центра $C_1$: $(1; -2)$.
• Квадрат радиуса $R_1^2 = 36$, следовательно, радиус $R_1 = \sqrt{36} = 6$.

Теперь решим каждую из подзадач.

а) начала координат, а радиус которой равен радиусу данной окружности;

Центр новой окружности $C_a$ должен быть симметричен центру $C_1(1; -2)$ относительно начала координат $(0; 0)$. При такой симметрии обе координаты меняют свой знак на противоположный. Таким образом, новый центр $C_a$ имеет координаты $(-1; 2)$.

Радиус новой окружности $R_a$ равен радиусу данной, то есть $R_a = 6$.

Подставляем новые значения в общее уравнение окружности: $(x - (-1))^2 + (y - 2)^2 = 6^2$.

Ответ: $(x + 1)^2 + (y - 2)^2 = 36$.

б) оси ординат, а радиус которой в три раза меньше радиуса данной окружности;

Центр новой окружности $C_б$ должен быть симметричен центру $C_1(1; -2)$ относительно оси ординат (оси $Oy$). При симметрии относительно оси $Oy$ изменяется знак только у координаты $x$. Таким образом, новый центр $C_б$ имеет координаты $(-1; -2)$.

Радиус новой окружности $R_б$ в три раза меньше радиуса данной: $R_б = \frac{R_1}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

Подставляем новые значения в общее уравнение окружности: $(x - (-1))^2 + (y - (-2))^2 = 2^2$.

Ответ: $(x + 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$.

в) оси абсцисс, а радиус которой в два раза больше радиуса данной окружности.

Центр новой окружности $C_в$ должен быть симметричен центру $C_1(1; -2)$ относительно оси абсцисс (оси $Ox$). При симметрии относительно оси $Ox$ изменяется знак только у координаты $y$. Таким образом, новый центр $C_в$ имеет координаты $(1; 2)$.

Радиус новой окружности $R_в$ в два раза больше радиуса данной: $R_в = R_1 \cdot 2 = 6 \cdot 2 = 12$.

Подставляем новые значения в общее уравнение окружности: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 12^2$.

Ответ: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 144$.