Номер 3.128, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.128. Определите, верно ли, что:

а) центром окружности, заданной уравнением $(x-5)^2+(y+9)^2=16$, является точка $(5; -9);

б) центром окружности, заданной уравнением $x^2+(y+10)^2=36$, является точка $(0; 10);

в) центром окружности, заданной уравнением $x^2+y^2=3$, является точка $(0; 0);

г) радиус окружности, заданной уравнением $(x-8)^2+y^2=25$, равен 5.

Для решения задачи используется каноническое уравнение окружности, которое имеет вид:

Здесь $(x_0, y_0)$ — координаты центра окружности, а $r$ — её радиус. Проверим каждое из предложенных утверждений.

Уравнение окружности дано как $(x-5)^2+(y+9)^2=16$. Чтобы найти центр, сравним его с каноническим видом. Слагаемое с $y$ можно переписать как $(y+9)^2 = (y - (-9))^2$. Тогда всё уравнение примет вид $(x-5)^2+(y-(-9))^2=16$.

Сравнивая с каноническим уравнением $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$, находим координаты центра: $x_0=5$ и $y_0=-9$.

Таким образом, центр окружности — точка $(5; -9)$. Утверждение верно.

Ответ: верно

Рассмотрим уравнение $x^2+(y+10)^2=36$. Перепишем его в стандартном виде: $(x-0)^2+(y-(-10))^2=36$.

Из этого уравнения видно, что координаты центра окружности: $x_0=0$ и $y_0=-10$.

Следовательно, центр окружности — это точка $(0; -10)$, а не $(0; 10)$, как утверждается в условии. Утверждение неверно.

Ответ: неверно

Уравнение окружности $x^2+y^2=3$ можно переписать в стандартном виде: $(x-0)^2+(y-0)^2=3$.

Сравнивая с канонической формой, получаем, что координаты центра: $x_0=0$ и $y_0=0$.

Центр окружности совпадает с началом координат, точкой $(0; 0)$. Утверждение верно.

Ответ: верно

Рассмотрим уравнение $(x-8)^2+y^2=25$. Перепишем его в стандартном виде: $(x-8)^2+(y-0)^2=25$.

Правая часть уравнения в канонической форме представляет собой квадрат радиуса: $r^2$. В данном случае $r^2 = 25$.

Чтобы найти радиус, извлечем квадратный корень: $r = \sqrt{25} = 5$. Поскольку радиус является длиной, он может быть только положительным.

Утверждение о том, что радиус равен 5, верно.

Ответ: верно