Номер 3.131, страница 178 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.131. Запишите уравнение окружности, график которой изображен на рисунке 78. Какое уравнение имеет окружность, симметричная данной окружности относительно прямой $y = 2$? $x = -1$?

Рис. 78

Запишите уравнение окружности, график которой изображен на рисунке 78.

Общее уравнение окружности имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$, где $(a, b)$ — координаты центра окружности, а $R$ — ее радиус.

1. Найдем координаты центра окружности по графику. Центр окружности — точка с координатами $(3, -4)$. Следовательно, $a = 3$, $b = -4$.
2. Найдем радиус окружности. Радиус — это расстояние от центра до любой точки на окружности. Например, расстояние по вертикали от центра $(3, -4)$ до верхней точки окружности $(3, 1)$ равно $1 - (-4) = 5$. Также можно посчитать расстояние по горизонтали от центра $(3, -4)$ до крайней правой точки $(8, -4)$, которое равно $8 - 3 = 5$. Таким образом, радиус $R = 5$.
3. Подставим найденные значения $a=3$, $b=-4$ и $R=5$ в общее уравнение окружности:
   $(x - 3)^2 + (y - (-4))^2 = 5^2$
   $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 25$.

Какое уравнение имеет окружность, симметричная данной окружности относительно прямой $y = 2$?

При осевой симметрии радиус окружности не изменяется, поэтому радиус новой окружности $R' = 5$. Изменяется только положение ее центра.

1. Исходный центр окружности — точка $C(3, -4)$. Найдем координаты нового центра $C'(a', b')$, симметричного точке $C$ относительно прямой $y = 2$.
2. При симметрии относительно горизонтальной прямой $y = k$, абсцисса точки остается неизменной ($a' = a$), а новая ордината $b'$ вычисляется по формуле $b' = 2k - b$.
3. В нашем случае $k = 2$.
   Новая абсцисса: $a' = 3$.
   Новая ордината: $b' = 2 \cdot 2 - (-4) = 4 + 4 = 8$.
   Координаты нового центра: $C'(3, 8)$.
4. Запишем уравнение новой окружности с центром в точке $(3, 8)$ и радиусом $R' = 5$:
   $(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 5^2$
   $(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 25$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 8)^2 = 25$.

Какое уравнение имеет окружность, симметричная данной окружности относительно прямой $x = -1$?

Аналогично предыдущему случаю, радиус окружности при симметрии не изменяется: $R'' = 5$.

1. Исходный центр окружности — точка $C(3, -4)$. Найдем координаты нового центра $C''(a'', b'')$, симметричного точке $C$ относительно прямой $x = -1$.
2. При симметрии относительно вертикальной прямой $x = h$, ордината точки остается неизменной ($b'' = b$), а новая абсцисса $a''$ вычисляется по формуле $a'' = 2h - a$.
3. В нашем случае $h = -1$.
   Новая абсцисса: $a'' = 2 \cdot (-1) - 3 = -2 - 3 = -5$.
   Новая ордината: $b'' = -4$.
   Координаты нового центра: $C''(-5, -4)$.
4. Запишем уравнение новой окружности с центром в точке $(-5, -4)$ и радиусом $R'' = 5$:
   $(x - (-5))^2 + (y - (-4))^2 = 5^2$
   $(x + 5)^2 + (y + 4)^2 = 25$

Ответ: $(x + 5)^2 + (y + 4)^2 = 25$.