Номер 3.125, страница 177 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.125. Найдите расстояние от точки $T(6; 8)$ до точки, симметричной данной точке относительно:

а) оси абсцисс;

б) оси ординат;

в) начала координат.

Обобщите полученный результат.

Дана точка $T(6; 8)$. Найдем координаты точек, симметричных данной точке относительно осей координат и начала координат, а затем вычислим расстояние между исходной точкой и каждой из симметричных точек по формуле расстояния между двумя точками $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$.

а) оси абсцисс;Точка, симметричная точке $T(x; y)$ относительно оси абсцисс (оси Ox), имеет координаты $(x; -y)$. Следовательно, для точки $T(6; 8)$ симметричная точка $T_a$ будет иметь координаты $(6; -8)$. Найдем расстояние $d(T, T_a)$ между точками $T(6; 8)$ и $T_a(6; -8)$:$d(T, T_a) = \sqrt{(6-6)^2 + (-8-8)^2} = \sqrt{0^2 + (-16)^2} = \sqrt{256} = 16$. Ответ: 16

б) оси ординат;Точка, симметричная точке $T(x; y)$ относительно оси ординат (оси Oy), имеет координаты $(-x; y)$. Следовательно, для точки $T(6; 8)$ симметричная точка $T_b$ будет иметь координаты $(-6; 8)$. Найдем расстояние $d(T, T_b)$ между точками $T(6; 8)$ и $T_b(-6; 8)$:$d(T, T_b) = \sqrt{(-6-6)^2 + (8-8)^2} = \sqrt{(-12)^2 + 0^2} = \sqrt{144} = 12$. Ответ: 12

в) начала координат.Точка, симметричная точке $T(x; y)$ относительно начала координат $O(0; 0)$, имеет координаты $(-x; -y)$. Следовательно, для точки $T(6; 8)$ симметричная точка $T_c$ будет иметь координаты $(-6; -8)$. Найдем расстояние $d(T, T_c)$ между точками $T(6; 8)$ и $T_c(-6; -8)$:$d(T, T_c) = \sqrt{(-6-6)^2 + (-8-8)^2} = \sqrt{(-12)^2 + (-16)^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20$. Ответ: 20

Обобщение полученного результата:Пусть дана произвольная точка $M(x; y)$.

• Расстояние от точки $M(x;y)$ до точки, симметричной ей относительно оси абсцисс, $M'(x;-y)$, равно $d_a = \sqrt{(x-x)^2 + (-y-y)^2} = \sqrt{(-2y)^2} = 2|y|$. Это удвоенное расстояние от точки $M$ до оси абсцисс.
• Расстояние от точки $M(x;y)$ до точки, симметричной ей относительно оси ординат, $M''(-x;y)$, равно $d_b = \sqrt{(-x-x)^2 + (y-y)^2} = \sqrt{(-2x)^2} = 2|x|$. Это удвоенное расстояние от точки $M$ до оси ординат.
• Расстояние от точки $M(x;y)$ до точки, симметричной ей относительно начала координат, $M'''(-x;-y)$, равно $d_c = \sqrt{(-x-x)^2 + (-y-y)^2} = \sqrt{4x^2 + 4y^2} = 2\sqrt{x^2+y^2}$. Это удвоенное расстояние от точки $M$ до начала координат.

Таким образом, расстояние от точки до ее симметричного образа относительно некоторой точки или прямой равно удвоенному расстоянию от исходной точки до этой точки или прямой (где расстояние до прямой измеряется по перпендикуляру).