Номер 4.240, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.240. Предприниматель запланировал в течение месяца ежедневно откладывать деньги. Причем в первый день он планирует отложить 1 к., во второй — 2 к., в третий — 4 к., в четвертый — 8 к. и т. д. Сможет ли он реализовать свой план, если его ежемесячный заработок составляет 1200 р.?

Для ответа на вопрос необходимо рассчитать общую сумму, которую предприниматель должен отложить за месяц, и сравнить её с его заработком.

Ежедневные отчисления (1 к., 2 к., 4 к., 8 к. и т.д.) образуют геометрическую прогрессию ($b_n$), где первый член $b_1 = 1$ (копейка), а знаменатель прогрессии $q = 2$, так как каждый следующий день сумма удваивается.

Сумма ($S_n$) первых $n$ членов геометрической прогрессии находится по формуле:$$ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} $$Для данного случая формула упрощается:$$ S_n = \frac{1 \cdot (2^n - 1)}{2 - 1} = 2^n - 1 \text{ копеек} $$

Рассмотрим стандартный месяц продолжительностью $n = 30$ дней. Рассчитаем общую сумму накоплений за этот период:$$ S_{30} = 2^{30} - 1 $$Для вычисления $2^{30}$ воспользуемся известной степенью двойки $2^{10} = 1024$:$$ 2^{30} = (2^{10})^3 = 1024^3 = 1\;073\;741\;824 $$Таким образом, общая сумма в копейках составит:$$ S_{30} = 1\;073\;741\;824 - 1 = 1\;073\;741\;823 \text{ копеек} $$

Переведем полученную сумму в рубли (1 рубль = 100 копеек):$$ \frac{1\;073\;741\;823}{100} \text{ р.} = 10\;737\;418,23 \text{ р.} $$

Сможет ли он реализовать свой план, если его ежемесячный заработок составляет 1200 р.?
Заработок предпринимателя составляет 1200 р. Сумма, которую необходимо отложить за 30 дней, — 10 737 418,23 р. Очевидно, что требуемая для накопления сумма многократно превышает его заработок.$$ 10\;737\;418,23 \text{ р.} \gg 1200 \text{ р.} $$Более того, план становится невыполнимым задолго до конца месяца. Уже на 17-й день общая сумма накоплений ($S_{17} = 2^{17} - 1 = 131\;071$ коп. = 1310,71 р.) превысит его месячный заработок. Следовательно, реализовать такой план невозможно.
Ответ: Нет, не сможет. Сумма, которую ему потребовалось бы отложить за 30-дневный месяц, составляет $\frac{1073741823}{100}$ рублей, что равно 10737418$\frac{23}{100}$ рублей. Целая часть: 10737418.