Номер 4.236, страница 250 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.236. Найдите сумму 99 первых членов геометрической прогрессии $7; -7; 7; -7; \dots$.

Данная последовательность 7; -7; 7; -7; ... является геометрической прогрессией.

Первый член этой прогрессии $b_1 = 7$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, который равен отношению любого члена к предыдущему:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-7}{7} = -1$

Для нахождения суммы $S_n$ первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

В нашем случае необходимо найти сумму 99 первых членов, то есть $n = 99$. Подставим известные значения ($b_1 = 7$, $q = -1$, $n = 99$) в формулу:

$S_{99} = \frac{7 \cdot (1 - (-1)^{99})}{1 - (-1)}$

Поскольку 99 — это нечетное число, то $(-1)^{99} = -1$. Подставим это значение в выражение:

$S_{99} = \frac{7 \cdot (1 - (-1))}{1 + 1} = \frac{7 \cdot (1 + 1)}{2} = \frac{7 \cdot 2}{2} = 7$

Альтернативный способ:

Можно заметить, что сумма каждой пары последовательных членов равна $7 + (-7) = 0$.

Сумма 99 членов — это сумма 49 таких пар и еще одного, 99-го члена.

$S_{99} = (7-7) + (7-7) + \dots + (7-7) + b_{99}$ (всего 49 пар)

Сумма первых 98 членов (49 пар) равна $49 \cdot 0 = 0$.

Следовательно, искомая сумма равна 99-му члену. В данной прогрессии все члены с нечетными номерами (1-й, 3-й, 5-й, ...) равны 7. Так как 99 — нечетное число, то $b_{99} = 7$.

Таким образом, $S_{99} = 0 + 7 = 7$.

Ответ: 7