Номер 4.234, страница 247 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.234. Найдите значение выражения:

a) $ (2^{-1} + 3^{-1})^{-1} $;

б) $ 2^4 \cdot 16 : (-8)^3 $.

a) $(2^{-1} + 3^{-1})^{-1}$

Для решения данного выражения воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.

1. Преобразуем слагаемые в скобках, используя это свойство:

$2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$

$3^{-1} = \frac{1}{3^1} = \frac{1}{3}$

2. Подставим полученные значения в исходное выражение:

$(2^{-1} + 3^{-1})^{-1} = (\frac{1}{2} + \frac{1}{3})^{-1}$

3. Выполним сложение дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю, который равен 6:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$

4. Теперь необходимо возвести полученную дробь в степень -1. Возведение в степень -1 эквивалентно нахождению обратного числа (дроби):

$(\frac{5}{6})^{-1} = \frac{6}{5}$

5. Преобразуем неправильную дробь $\frac{6}{5}$ в смешанное число, выделив целую часть:

$\frac{6}{5} = 1\frac{1}{5}$

Ответ: 1$\frac{1}{5}$

б) $2^4 \cdot 16 : (-8)^3$

Для упрощения вычислений представим все числовые множители и делители в виде степеней с основанием 2.

1. Представим числа 16 и -8 как степени двойки:

$16 = 2^4$

$-8 = -(2^3)$

2. Подставим эти значения в исходное выражение:

$2^4 \cdot 2^4 : (-(2^3))^3$

3. Применим свойства степеней. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$2^4 \cdot 2^4 = 2^{4+4} = 2^8$

При возведении степени в степень показатели перемножаются ($(a^m)^n = a^{m \cdot n}$), а знак "минус" при возведении в нечетную степень (3) сохраняется:

$(-(2^3))^3 = (-1)^3 \cdot (2^3)^3 = -1 \cdot 2^{3 \cdot 3} = -2^9$

4. Теперь выражение имеет вид:

$2^8 : (-2^9)$

5. Выполним деление, используя правило деления степеней с одинаковым основанием ($\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$):

$\frac{2^8}{-2^9} = -\frac{2^8}{2^9} = -2^{8-9} = -2^{-1}$

6. Преобразуем полученное выражение со степенью -1:

$-2^{-1} = -\frac{1}{2}$

Ответ: $-\frac{1}{2}$