Номер 4.229, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.229* Шестой член геометрической прогрессии равен 10. Чему равно произведение одиннадцати первых членов этой прогрессии?

Пусть дана геометрическая прогрессия $b_n$ с первым членом $b_1$ и знаменателем $q$. Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи, шестой член прогрессии равен 10:$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5 = 10$.

Требуется найти произведение первых одиннадцати членов этой прогрессии. Обозначим это произведение как $P_{11}$:$P_{11} = b_1 \cdot b_2 \cdot b_3 \cdot b_4 \cdot b_5 \cdot b_6 \cdot b_7 \cdot b_8 \cdot b_9 \cdot b_{10} \cdot b_{11}$.

Воспользуемся свойством геометрической прогрессии: произведение членов, равноудаленных от центрального члена, равно квадрату этого центрального члена. Для любого члена $b_k$ и целого числа $m < k$ справедливо равенство: $b_{k-m} \cdot b_{k+m} = b_k^2$. Это легко доказать:$b_{k-m} \cdot b_{k+m} = (b_1 q^{k-m-1}) \cdot (b_1 q^{k+m-1}) = b_1^2 \cdot q^{(k-m-1) + (k+m-1)} = b_1^2 \cdot q^{2k-2} = (b_1 q^{k-1})^2 = b_k^2$.

В нашем случае мы рассматриваем произведение 11 членов. Центральным членом является $b_6$, так как перед ним и после него находится по 5 членов. Сгруппируем множители в $P_{11}$ в пары, равноудаленные от $b_6$:$P_{11} = (b_1 \cdot b_{11}) \cdot (b_2 \cdot b_{10}) \cdot (b_3 \cdot b_9) \cdot (b_4 \cdot b_8) \cdot (b_5 \cdot b_7) \cdot b_6$.

Применяя указанное выше свойство для $k=6$ и $m=1, 2, 3, 4, 5$, получаем:

• $b_5 \cdot b_7 = b_{6-1} \cdot b_{6+1} = b_6^2$
• $b_4 \cdot b_8 = b_{6-2} \cdot b_{6+2} = b_6^2$
• $b_3 \cdot b_9 = b_{6-3} \cdot b_{6+3} = b_6^2$
• $b_2 \cdot b_{10} = b_{6-4} \cdot b_{6+4} = b_6^2$
• $b_1 \cdot b_{11} = b_{6-5} \cdot b_{6+5} = b_6^2$

Теперь подставим эти произведения обратно в формулу для $P_{11}$:$P_{11} = (b_6^2) \cdot (b_6^2) \cdot (b_6^2) \cdot (b_6^2) \cdot (b_6^2) \cdot b_6$.

Произведение состоит из пяти множителей $b_6^2$ и одного множителя $b_6$:$P_{11} = (b_6^2)^5 \cdot b_6 = b_6^{10} \cdot b_6 = b_6^{11}$.

Так как по условию $b_6 = 10$, мы можем найти окончательное значение произведения:$P_{11} = 10^{11} = 100\;000\;000\;000$.

Произведение одиннадцати первых членов этой прогрессии: Ответ: 100000000000