Номер 4.226, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.226*. Докажите, что последовательность $b_n = \frac{2}{7} \cdot 3^n$ является геометрической прогрессией.

4.226*:

По определению, числовая последовательность является геометрической прогрессией, если отношение каждого её члена, начиная со второго, к предыдущему члену является постоянным числом. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии и обозначается $q$.

Чтобы доказать, что последовательность $b_n = \frac{2}{7} \cdot 3^n$ является геометрической прогрессией, мы должны показать, что отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ является константой (не зависит от $n$).

1. Запишем формулу для $(n+1)$-го члена последовательности, подставив в исходную формулу $(n+1)$ вместо $n$:

$b_{n+1} = \frac{2}{7} \cdot 3^{n+1}$

2. Теперь найдем отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му:

$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\frac{2}{7} \cdot 3^{n+1}}{\frac{2}{7} \cdot 3^n}$

3. Упростим полученное выражение. Сократим общий множитель $\frac{2}{7}$:

$q = \frac{3^{n+1}}{3^n}$

4. Используем свойство степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$:

$q = 3^{(n+1)-n} = 3^1 = 3$

Поскольку отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ равно постоянному числу 3, которое не зависит от $n$, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = 3$.

Для примера, второй член последовательности равен $b_2 = \frac{2}{7} \cdot 3^2 = \frac{18}{7}$. Выделим целую часть из этой неправильной дроби: $\frac{18}{7} = 2\frac{4}{7}$.

Ответ: Доказано, что последовательность является геометрической прогрессией.