Номер 4.225, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.225. Найдите, при каком значении переменной значения выражений будут последовательными членами геометрической прогрессии:

а) $4$; $x - 5$ и $7 - 2x$;

б) $3x - 4$; $x + 2$ и $x + 6$.

Для того чтобы три выражения были последовательными членами геометрической прогрессии, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось ее характеристическое свойство: квадрат среднего члена должен быть равен произведению двух крайних. Если обозначить члены прогрессии как $b_1, b_2, b_3$, то свойство можно записать в виде формулы: $b_2^2 = b_1 \cdot b_3$.

а) Даны выражения: $4$, $x-5$ и $7-2x$.

Обозначим их как члены геометрической прогрессии: $b_1 = 4$, $b_2 = x-5$, $b_3 = 7-2x$.

Подставим эти выражения в формулу характеристического свойства:

$(x-5)^2 = 4 \cdot (7-2x)$

Раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$x^2 - 10x + 25 = 28 - 8x$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 10x + 8x + 25 - 28 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-2) = 2$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -3$

Методом подбора находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $x = \mathbf{3}$ или $x = \mathbf{-1}$.

б) Даны выражения: $3x-4$, $x+2$ и $x+6$.

Обозначим их как члены геометрической прогрессии: $b_1 = 3x-4$, $b_2 = x+2$, $b_3 = x+6$.

Подставим эти выражения в формулу характеристического свойства:

$(x+2)^2 = (3x-4)(x+6)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 18x - 4x - 24$

$x^2 + 4x + 4 = 3x^2 + 14x - 24$

Перенесем все члены в правую часть и приведем подобные слагаемые:

$0 = 3x^2 - x^2 + 14x - 4x - 24 - 4$

$0 = 2x^2 + 10x - 28$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$x^2 + 5x - 14 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -5$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -14$

Методом подбора находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -7$.

Ответ: $x = \mathbf{2}$ или $x = \mathbf{-7}$.