Номер 4.228, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.228*. Дана геометрическая прогрессия ($b_n$). Определите, является ли геометрической прогрессией последовательность:

а) $b_2; b_4; b_6; ...;$

б) $\frac{1}{b_1}; \frac{1}{b_2}; \frac{1}{b_3}; ...$

Пусть $(b_n)$ — заданная геометрическая прогрессия с первым членом $b_1$ и знаменателем $q \neq 0$. Общий член этой прогрессии определяется формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Чтобы определить, является ли новая последовательность геометрической прогрессией, нужно проверить, является ли отношение ее $(n+1)$-го члена к $n$-му члену постоянной величиной, не зависящей от $n$. Эта величина будет знаменателем новой прогрессии.

а) $b_2; b_4; b_6; \dots$
Рассмотрим последовательность $c_n$, состоящую из членов прогрессии $(b_n)$ с четными номерами. То есть $c_n = b_{2n}$.
Ее члены: $c_1 = b_2$, $c_2 = b_4$, $c_3 = b_6$ и так далее.
Выразим $n$-й и $(n+1)$-й члены последовательности $(c_n)$ через $b_1$ и $q$:
$n$-й член: $c_n = b_{2n} = b_1 \cdot q^{2n-1}$.
$(n+1)$-й член: $c_{n+1} = b_{2(n+1)} = b_{2n+2} = b_1 \cdot q^{(2n+2)-1} = b_1 \cdot q^{2n+1}$.
Теперь найдем их отношение:
$\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{b_1 \cdot q^{2n+1}}{b_1 \cdot q^{2n-1}} = q^{(2n+1) - (2n-1)} = q^{2n+1-2n+1} = q^2$.
Поскольку отношение является постоянной величиной ($q^2$), не зависящей от $n$, то данная последовательность является геометрической прогрессией. Ее первый член равен $b_2$, а знаменатель равен $q^2$.
Ответ: да.

б) $\frac{1}{b_1}; \frac{1}{b_2}; \frac{1}{b_3}; \dots$
Рассмотрим последовательность $d_n = \frac{1}{b_n}$. (Это возможно, если все $b_n \neq 0$, что выполняется, если $b_1 \neq 0$ и $q \neq 0$).
Найдем отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му члену последовательности $(d_n)$:
$\frac{d_{n+1}}{d_n} = \frac{1/b_{n+1}}{1/b_n} = \frac{b_n}{b_{n+1}}$.
По определению геометрической прогрессии $(b_n)$, отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n} = q$.
Следовательно, обратное отношение $\frac{b_n}{b_{n+1}} = \frac{1}{q}$.
Поскольку отношение является постоянной величиной ($\frac{1}{q}$), не зависящей от $n$, то данная последовательность также является геометрической прогрессией. Ее первый член равен $\frac{1}{b_1}$, а знаменатель равен $\frac{1}{q}$.
Ответ: да.