Номер 4.227, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.227*. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_4 - b_5 = -168$ и $b_3 + b_4 = -28$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член, а $q$ — знаменатель прогрессии.

Согласно условию, имеем систему из двух уравнений:

Выразим члены прогрессии через $b_1$ и $q$:

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

Разделим уравнение (1) на уравнение (2). Это возможно, так как правая часть второго уравнения не равна нулю, что означает $b_1 \neq 0$, $q \neq 0$ и $q \neq -1$.

После сокращения дроби в левой части и вычисления значения в правой части получаем:

Решим это уравнение относительно $q$:

Это квадратное уравнение. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна -5, а произведение равно 6. Следовательно, корни уравнения:

$q_1 = -2$ и $q_2 = -3$.

Теперь для каждого найденного значения знаменателя $q$ найдем соответствующий первый член $b_1$. Воспользуемся для этого вторым уравнением системы: $b_1 q^2 (1 + q) = -28$.

1. Если $q = -2$:

Подставляем значение $q$ в уравнение:

2. Если $q = -3$:

Подставляем значение $q$ в уравнение:

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{14}{9} = 1\frac{5}{9}$.

Таким образом, условию задачи удовлетворяют две пары значений.

Первый случай:

Первый член: Ответ: 7

Знаменатель: Ответ: -2

Второй случай:

Первый член: Ответ: 1$\frac{5}{9}$

Знаменатель: Ответ: -3