Номер 4.221, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.221. Предприятие в январе планирует запустить новую производственную линию. По предварительным расчетам, в первый месяц на новой линии может быть изготовлено 256 тыс. единиц продукции. Затем предполагается увеличивать выпуск продукции на 25 % ежемесячно. В каком месяце, согласно этому плану, предприятию удастся довести выпуск продукции до 625 тыс. единиц в месяц?

Данная задача описывает процесс, который является геометрической прогрессией, поскольку каждый месяц объем производства увеличивается на фиксированный процент (25%) от значения предыдущего месяца.

Определим параметры этой прогрессии:

• Первый член прогрессии ($b_1$) — это объем производства в первый месяц (январь), который составляет 256 тыс. единиц.
• Знаменатель прогрессии ($q$) — это коэффициент, на который умножается объем производства каждый месяц. Увеличение на 25% означает умножение на $1 + \frac{25}{100} = 1.25$. Для удобства вычислений представим это число в виде обыкновенной дроби: $q = 1.25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$.
• n-й член прогрессии ($b_n$) — это целевой объем производства, равный 625 тыс. единиц.
• Номер искомого члена ($n$) — это номер месяца, в котором будет достигнут целевой объем.

Для нахождения номера месяца $n$ воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим в формулу известные значения:

$625 = 256 \cdot \left(\frac{5}{4}\right)^{n-1}$

Выразим из уравнения множитель, содержащий неизвестную степень $n-1$:

$\left(\frac{5}{4}\right)^{n-1} = \frac{625}{256}$

Чтобы решить это уравнение, представим числа 625 и 256 в виде степеней с основаниями 5 и 4 соответственно:

$625 = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^4$

$256 = 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^4$

Теперь подставим эти значения обратно в уравнение:

$\left(\frac{5}{4}\right)^{n-1} = \frac{5^4}{4^4} = \left(\frac{5}{4}\right)^4$

Поскольку основания степеней в левой и правой частях уравнения равны, мы можем приравнять их показатели:

$n - 1 = 4$

$n = 4 + 1$

$n = 5$

Это означает, что целевой объем производства в 625 тыс. единиц будет достигнут на 5-й месяц. Так как производственная линия была запущена в январе (1-й месяц), то 5-м месяцем является май.

Предприятию удастся довести выпуск продукции до 625 тыс. единиц в месяц в мае. Ответ: май.