Номер 4.223, страница 245 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.223. Какие четыре числа надо вставить между числами 160 и 5, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию? Чему равен знаменатель этой геометрической прогрессии?

Пусть искомая геометрическая прогрессия — это последовательность $b_n$. Согласно условию, ее первый член $b_1 = 160$. Нам необходимо вставить четыре числа между 160 и 5. Это означает, что вместе с данными числами в прогрессии будет $2 + 4 = 6$ членов. Следовательно, число 5 является шестым членом прогрессии, то есть $b_6 = 5$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$$ где $q$ — это знаменатель прогрессии.

Для нахождения знаменателя $q$ подставим в формулу известные нам значения: $b_1 = 160$, $b_6 = 5$ и $n=6$.
$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1}$
$5 = 160 \cdot q^5$

Выразим $q^5$ из этого уравнения: $$q^5 = \frac{5}{160} = \frac{1}{32}$$

Теперь найдем значение $q$, извлекая корень пятой степени: $$q = \sqrt[5]{\frac{1}{32}} = \frac{1}{2}$$

Зная знаменатель прогрессии $q = \frac{1}{2}$, мы можем последовательно найти четыре искомых числа. Это будут члены прогрессии со второго по пятый ($b_2, b_3, b_4, b_5$):

• $b_2 = b_1 \cdot q = 160 \cdot \frac{1}{2} = 80$
• $b_3 = b_2 \cdot q = 80 \cdot \frac{1}{2} = 40$
• $b_4 = b_3 \cdot q = 40 \cdot \frac{1}{2} = 20$
• $b_5 = b_4 \cdot q = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10$

Проверим, будет ли шестой член равен 5: $b_6 = b_5 \cdot q = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5$. Все верно.

Таким образом, полная последовательность членов геометрической прогрессии выглядит так: 160, 80, 40, 20, 10, 5.

Какие четыре числа надо вставить между числами 160 и 5, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию? Ответ: 80, 40, 20, 10.

Чему равен знаменатель этой геометрической прогрессии? Ответ: $\frac{1}{2}$.