Номер 4.230, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.230. С помощью графиков функций $y = |x|$ и $y = \frac{3x}{7} + 2\frac{6}{7}$ (рис. 95) решите уравнение $|x| = \frac{3x}{7} + 2\frac{6}{7}$. Выполните проверку.

Рис. 95

Для решения уравнения $|x| = \frac{3x}{7} + 2\frac{6}{7}$ графическим методом необходимо найти абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графиков двух функций: $y = |x|$ (на рисунке изображен красным цветом) и $y = \frac{3x}{7} + 2\frac{6}{7}$ (на рисунке изображен черным цветом).

Из рисунка видно, что графики пересекаются в двух точках. Чтобы найти точные значения координат, решим уравнение аналитически, рассмотрев два случая в соответствии с определением модуля.

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную для удобства вычислений:

$2\frac{6}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{20}{7}$

Исходное уравнение принимает вид: $|x| = \frac{3x}{7} + \frac{20}{7}$.

При $x \ge 0$ модуль раскрывается как $|x| = x$. Уравнение принимает вид:

$x = \frac{3x}{7} + \frac{20}{7}$

Умножим обе части уравнения на 7, чтобы избавиться от знаменателя:

$7x = 3x + 20$

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть:

$7x - 3x = 20$

$4x = 20$

$x = \frac{20}{4}$

$x = 5$

Этот корень удовлетворяет условию $x \ge 0$. На графике это правая точка пересечения с координатами $(5, 5)$.

При $x < 0$ модуль раскрывается как $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:

$-x = \frac{3x}{7} + \frac{20}{7}$

Умножим обе части уравнения на 7:

$-7x = 3x + 20$

Перенесем слагаемые с $x$ в одну часть:

$-7x - 3x = 20$

$-10x = 20$

$x = \frac{20}{-10}$

$x = -2$

Этот корень удовлетворяет условию $x < 0$. На графике это левая точка пересечения с координатами $(-2, 2)$.

Выполним проверку, подставив найденные корни в исходное уравнение $|x| = \frac{3x}{7} + 2\frac{6}{7}$.

• Проверка для $x = 5$:
  $|5| = \frac{3 \cdot 5}{7} + 2\frac{6}{7}$
  $5 = \frac{15}{7} + \frac{20}{7}$
  $5 = \frac{15 + 20}{7}$
  $5 = \frac{35}{7}$
  $5 = 5$
  Равенство верное.
• Проверка для $x = -2$:
  $|-2| = \frac{3 \cdot (-2)}{7} + 2\frac{6}{7}$
  $2 = -\frac{6}{7} + \frac{20}{7}$
  $2 = \frac{-6 + 20}{7}$
  $2 = \frac{14}{7}$
  $2 = 2$
  Равенство верное.

Оба корня найдены верно.