Номер 4.232, страница 246 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.232. Сократите дробь $\frac{y^2 + 2y - 15}{y^2 - 9}$

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить на множители её числитель и знаменатель, а затем сократить общие множители.

Исходная дробь:

Шаг 1: Разложение числителя на множители.

Числитель $y^2 + 2y - 15$ является квадратным трёхчленом. Для его разложения на множители найдем корни соответствующего квадратного уравнения $y^2 + 2y - 15 = 0$.

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения через дискриминант:

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$.

Корни уравнения:

Теперь представим квадратный трёхчлен в виде произведения множителей по формуле $a(y - y_1)(y - y_2)$:

Шаг 2: Разложение знаменателя на множители.

Знаменатель $y^2 - 9$ представляет собой разность квадратов. Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

Шаг 3: Сокращение дроби.

Подставим разложенные на множители числитель и знаменатель в исходную дробь:

Сократим общий множитель $(y - 3)$. Это возможно при условии, что $y - 3 \neq 0$, то есть $y \neq 3$. Также изначальный знаменатель не должен быть равен нулю, т.е. $y^2-9 \neq 0$, откуда $y \neq \pm 3$.

Полученная дробь $\frac{y + 5}{y + 3}$ является неправильной, так как степень многочлена в числителе (1) равна степени многочлена в знаменателе (1). Выделим целую часть путем деления числителя на знаменатель:

Ответ: $1 + \frac{2}{y + 3}$