Номер 4.243, страница 251 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.243. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии $(b_n)$, если $b_1 = 9$; $b_5 = \frac{16}{9}$. Сколько решений имеет задача?

Для нахождения суммы пяти первых членов геометрической прогрессии ($b_n$) и определения количества решений задачи, необходимо сначала найти знаменатель прогрессии $q$.

Используем формулу n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию $b_1 = 9$ и $b_5 = \frac{16}{9}$. Подставим эти значения в формулу для $n=5$:

$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1}$

$\frac{16}{9} = 9 \cdot q^4$

Отсюда находим $q^4$:

$q^4 = \frac{16}{9 \cdot 9} = \frac{16}{81}$

Поскольку показатель степени (4) является четным числом, данное уравнение имеет два действительных корня:

$q_1 = \sqrt[4]{\frac{16}{81}} = \frac{2}{3}$

$q_2 = -\sqrt[4]{\frac{16}{81}} = -\frac{2}{3}$

Наличие двух различных возможных значений для знаменателя $q$ означает, что задача имеет два решения. Найдем сумму первых пяти членов $S_5$ для каждого из двух случаев, используя формулу $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$.

Случай 1 (при $q = 2/3$):
$S_5 = \frac{9 \left( \left(\frac{2}{3}\right)^5 - 1 \right)}{\frac{2}{3} - 1} = \frac{9 \left( \frac{32}{243} - 1 \right)}{-\frac{1}{3}} = \frac{9 \left( -\frac{211}{243} \right)}{-\frac{1}{3}} = 9 \cdot \frac{211}{243} \cdot 3 = \frac{27 \cdot 211}{243} = \frac{211}{9} = 23\frac{4}{9}$.
Ответ: 23.

Случай 2 (при $q = -2/3$):
$S_5 = \frac{9 \left( \left(-\frac{2}{3}\right)^5 - 1 \right)}{-\frac{2}{3} - 1} = \frac{9 \left( -\frac{32}{243} - 1 \right)}{-\frac{5}{3}} = \frac{9 \left( -\frac{275}{243} \right)}{-\frac{5}{3}} = 9 \cdot \frac{275}{243} \cdot \frac{3}{5} = \frac{27 \cdot 5 \cdot 55}{27 \cdot 9 \cdot 5} = \frac{55}{9} = 6\frac{1}{9}$.
Ответ: 6.

Сколько решений имеет задача?
Ответ: задача имеет 2 решения.