Номер 4.249, страница 252 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.249. Найдите сумму, зная, что ее слагаемые — последовательные члены геометрической прогрессии:

a) $1 + 2 + 4 + ... + 256;$

б) $1 - 3 + 9 - ... + 729.$

Чтобы найти сумму, необходимо определить параметры геометрической прогрессии (первый член, знаменатель и количество членов) и применить формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$, где $b_1$ — первый член, $q$ — знаменатель, $n$ — количество членов.

а) $1 + 2 + 4 + ... + 256$

Это сумма членов конечной геометрической прогрессии ($b_n$).

1. Определим параметры прогрессии.
   Первый член прогрессии: $b_1 = 1$.
   Второй член прогрессии: $b_2 = 2$.
   Знаменатель прогрессии $q$ равен отношению второго члена к первому:
   $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{2}{1} = 2$.
2. Найдем количество членов прогрессии $n$.
   Последний член прогрессии $b_n = 256$.
   Используем формулу $n$-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
   $256 = 1 \cdot 2^{n-1}$
   Поскольку $256 = 2^8$, мы можем записать:
   $2^8 = 2^{n-1}$
   Отсюда следует, что $n-1 = 8$, значит $n = 9$.
3. Вычислим сумму прогрессии $S_n$.
   Теперь, зная $b_1=1$, $q=2$ и $n=9$, найдем сумму по формуле:
   $S_9 = \frac{b_1(q^9 - 1)}{q-1} = \frac{1 \cdot (2^9 - 1)}{2 - 1} = \frac{512 - 1}{1} = 511$.

Ответ: 511

б) $1 - 3 + 9 - ... + 729$

Это сумма членов конечной знакочередующейся геометрической прогрессии ($b_n$).

1. Определим параметры прогрессии.
   Первый член прогрессии: $b_1 = 1$.
   Второй член прогрессии: $b_2 = -3$.
   Знаменатель прогрессии $q$ равен:
   $q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-3}{1} = -3$.
2. Найдем количество членов прогрессии $n$.
   Последний член прогрессии $b_n = 729$.
   Используем формулу $n$-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
   $729 = 1 \cdot (-3)^{n-1}$
   Поскольку $729 = 3^6$, а знаменатель отрицательный, то для получения положительного результата степень должна быть четной. Следовательно, $729 = (-3)^6$.
   $(-3)^6 = (-3)^{n-1}$
   Отсюда следует, что $n-1 = 6$, значит $n = 7$.
3. Вычислим сумму прогрессии $S_n$.
   Теперь, зная $b_1=1$, $q=-3$ и $n=7$, найдем сумму по формуле:
   $S_7 = \frac{b_1(q^7 - 1)}{q-1} = \frac{1 \cdot ((-3)^7 - 1)}{-3 - 1} = \frac{-2187 - 1}{-4} = \frac{-2188}{-4} = 547$.

Ответ: 547