Номер 4.251, страница 252 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.251. Разность четвертого и третьего членов геометрической прогрессии равна 24, а разность третьего и второго членов равна 12. Найдите сумму пяти первых членов этой прогрессии.

Пусть $b_1$ — первый член геометрической прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Тогда n-й член прогрессии определяется формулой $b_n = b_1 q^{n-1}$.

Согласно условию задачи, разность четвертого и третьего членов равна 24, а разность третьего и второго членов равна 12. Составим систему уравнений:

$$ \begin{cases} b_4 - b_3 = 24 \\ b_3 - b_2 = 12 \end{cases} $$

Подставим в уравнения формулу n-го члена:

$$ \begin{cases} b_1q^3 - b_1q^2 = 24 \\ b_1q^2 - b_1q = 12 \end{cases} $$

Вынесем общие множители за скобки в каждом уравнении:

$$ \begin{cases} b_1q^2(q - 1) = 24 \\ b_1q(q - 1) = 12 \end{cases} $$

Разделим первое уравнение на второе. Так как правые части уравнений не равны нулю, то и $b_1q(q-1) \neq 0$, поэтому деление возможно.

$$ \frac{b_1q^2(q - 1)}{b_1q(q - 1)} = \frac{24}{12} $$

После сокращения дроби получаем значение знаменателя прогрессии:

$$ q = 2 $$

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив значение $q=2$ во второе уравнение системы:

$$ b_1 \cdot 2 \cdot (2 - 1) = 12 $$

$$ 2b_1 = 12 $$

$$ b_1 = 6 $$

Найдите сумму пяти первых членов этой прогрессии.
Для нахождения суммы $S_5$ воспользуемся формулой суммы $n$ первых членов геометрической прогрессии: $$ S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} $$ Подставим найденные значения $b_1=6$, $q=2$ и $n=5$: $$ S_5 = \frac{6(2^5 - 1)}{2 - 1} = \frac{6(32 - 1)}{1} = 6 \cdot 31 = 186 $$ Ответ: 186