Номер 4.258, страница 252 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.258*. Найдите сумму четырех положительных чисел, из которых первые три составляют арифметическую прогрессию, а последние три — геометрическую прогрессию. Сумма трех первых чисел равна 12, а сумма трех последних — 19.

Обозначим четыре искомых положительных числа как $a_1, a_2, a_3, a_4$.

Из условия задачи мы знаем:

• $a_1, a_2, a_3$ — арифметическая прогрессия.
• $a_2, a_3, a_4$ — геометрическая прогрессия.
• Сумма первых трех чисел: $a_1 + a_2 + a_3 = 12$.
• Сумма последних трех чисел: $a_2 + a_3 + a_4 = 19$.

Для арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_3$ справедливо свойство, что средний член является средним арифметическим крайних членов: $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$, из чего следует $2a_2 = a_1 + a_3$. Подставим это выражение в сумму первых трех членов:

$(a_1 + a_3) + a_2 = 12 \Rightarrow 2a_2 + a_2 = 12 \Rightarrow 3a_2 = 12 \Rightarrow a_2 = 4$.

Теперь мы знаем, что второй член последовательности равен 4. Давайте используем это.

Из суммы первых трех чисел: $a_1 + 4 + a_3 = 12 \Rightarrow a_1 + a_3 = 8$.

Из суммы последних трех чисел: $4 + a_3 + a_4 = 19 \Rightarrow a_3 + a_4 = 15$.

Числа $a_2, a_3, a_4$ (то есть $4, a_3, a_4$) образуют геометрическую прогрессию. Для них справедливо свойство $a_3^2 = a_2 \cdot a_4 = 4a_4$. Отсюда $a_4 = \frac{a_3^2}{4}$.

Подставим выражение для $a_4$ в уравнение $a_3 + a_4 = 15$:

$a_3 + \frac{a_3^2}{4} = 15$

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

$4a_3 + a_3^2 = 60$

$a_3^2 + 4a_3 - 60 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $a_3$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 16 + 240 = 256 = 16^2$.

$a_3 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm 16}{2}$.

Получаем два возможных значения для $a_3$:

$a_{3,1} = \frac{-4 + 16}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$a_{3,2} = \frac{-4 - 16}{2} = \frac{-20}{2} = -10$

Согласно условию, все числа положительные, поэтому $a_3 = -10$ не является решением. Следовательно, $a_3 = 6$.

Теперь найдем остальные числа:

• $a_1 = 8 - a_3 = 8 - 6 = 2$
• $a_2 = 4$
• $a_3 = 6$
• $a_4 = 15 - a_3 = 15 - 6 = 9$

Получилась последовательность чисел: 2, 4, 6, 9. Проверим, удовлетворяет ли она всем условиям:

• Все числа положительные: Да.
• Первые три (2, 4, 6) - арифметическая прогрессия с разностью $d=2$: Да.
• Последние три (4, 6, 9) - геометрическая прогрессия со знаменателем $q = \frac{6}{4} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$: Да.
• Сумма первых трех: $2+4+6=12$: Да.
• Сумма последних трех: $4+6+9=19$: Да.

Все условия выполнены. Искомая сумма четырех чисел:

$S = 2 + 4 + 6 + 9 = 21$.

Сумма четырех положительных чисел: Ответ: 21