Номер 4.259, страница 252 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.259*. Найдите четыре целых числа, из которых первые три являются последовательными членами геометрической прогрессии, а последние три — последовательными членами арифметической прогрессии, если сумма крайних чисел равна 21, а сумма средних чисел равна 18.

Обозначим искомые четыре целых числа как $a, b, c, d$.

Согласно условиям задачи, мы можем составить систему из четырех уравнений:

1. Первые три числа являются членами геометрической прогрессии: $b^2 = ac$.
2. Последние три числа являются членами арифметической прогрессии: $2c = b + d$.
3. Сумма крайних чисел равна 21: $a + d = 21$.
4. Сумма средних чисел равна 18: $b + c = 18$.

Приступим к решению этой системы. Выразим все переменные через одну, например, через $b$.

Из четвертого уравнения выразим $c$:

$c = 18 - b$

Подставим это выражение для $c$ во второе уравнение и выразим $d$:

$2(18 - b) = b + d$

$36 - 2b = b + d$

$d = 36 - 3b$

Теперь подставим полученное выражение для $d$ в третье уравнение и выразим $a$:

$a + (36 - 3b) = 21$

$a = 21 - 36 + 3b$

$a = 3b - 15$

Мы выразили $a, c, d$ через $b$. Теперь подставим выражения для $a$ и $c$ в первое уравнение ($b^2 = ac$):

$b^2 = (3b - 15)(18 - b)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$b^2 = 54b - 3b^2 - 270 + 15b$

$b^2 = -3b^2 + 69b - 270$

$4b^2 - 69b + 270 = 0$

Найдем дискриминант $D$ и корни уравнения:

$D = (-69)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 270 = 4761 - 16 \cdot 270 = 4761 - 4320 = 441 = 21^2$

Корни уравнения для $b$:

$b_1 = \frac{69 - 21}{2 \cdot 4} = \frac{48}{8} = 6$

$b_2 = \frac{69 + 21}{2 \cdot 4} = \frac{90}{8} = \frac{45}{4}$

По условию задачи, все четыре числа должны быть целыми. Рассмотрим оба найденных значения для $b$.

Случай 1: $b = 6$

Так как $b=6$ является целым числом, найдем остальные числа:

$c = 18 - b = 18 - 6 = 12$

$a = 3b - 15 = 3 \cdot 6 - 15 = 18 - 15 = 3$

$d = 36 - 3b = 36 - 3 \cdot 6 = 36 - 18 = 18$

Мы получили последовательность целых чисел: 3, 6, 12, 18. Проверим, удовлетворяет ли она всем условиям:

• Геометрическая прогрессия (3, 6, 12): $6^2 = 36$, $3 \cdot 12 = 36$. Верно.
• Арифметическая прогрессия (6, 12, 18): $2 \cdot 12 = 24$, $6 + 18 = 24$. Верно.
• Сумма крайних: $3 + 18 = 21$. Верно.
• Сумма средних: $6 + 12 = 18$. Верно.

Этот набор чисел является решением задачи.

Случай 2: $b = \frac{45}{4}$

Это значение не является целым числом. Если бы мы продолжили вычисления, мы бы получили нецелые значения и для остальных чисел ($a = \frac{75}{4}$, $c = \frac{27}{4}$, $d = \frac{9}{4}$), что противоречит условию задачи.

Таким образом, существует только один набор целых чисел, удовлетворяющий условиям задачи.

Ответ: 3, 6, 12, 18.