Номер 4.262, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.262. На предприятии планируют благодаря эффективной рекламной кампании в первый месяц дополнительно реализовать 1000 изделий. Далее предполагается ежемесячное увеличение дополнительной реализации в 1,5 раза. За сколько месяцев предприятие сможет реализовать по этому плану дополнительно 8125 изделий?

Данная задача описывает нахождение количества членов геометрической прогрессии по её сумме. Количество дополнительно реализованных изделий по месяцам представляет собой геометрическую прогрессию. Определим её параметры на основе условий задачи:

• Первый член прогрессии $b_1$ (количество изделий в первый месяц) = 1000.
• Знаменатель прогрессии $q$ (коэффициент увеличения) = 1,5.
• Сумма первых $n$ членов прогрессии $S_n$ (общее количество изделий за $n$ месяцев) = 8125.

Необходимо найти количество месяцев $n$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1}$

Подставим в формулу известные значения:

$8125 = \frac{1000(1.5^n - 1)}{1.5 - 1}$

Теперь решим полученное уравнение:

$8125 = \frac{1000(1.5^n - 1)}{0.5}$

$8125 = 2000 \cdot (1.5^n - 1)$

Выразим скобку $(1.5^n - 1)$:

$1.5^n - 1 = \frac{8125}{2000}$

Сократим дробь $\frac{8125}{2000}$ на 125:

$\frac{8125 \div 125}{2000 \div 125} = \frac{65}{16}$

Уравнение принимает вид:

$1.5^n - 1 = \frac{65}{16}$

$1.5^n = \frac{65}{16} + 1 = \frac{65 + 16}{16} = \frac{81}{16}$

Чтобы найти $n$, представим обе части уравнения в виде степени с одинаковым основанием. Заменим 1,5 на дробь $\frac{3}{2}$ и представим $\frac{81}{16}$ в виде степени этой дроби:

$(\frac{3}{2})^n = \frac{3^4}{2^4} = (\frac{3}{2})^4$

Из равенства $(\frac{3}{2})^n = (\frac{3}{2})^4$ следует, что показатели степеней равны:

$n = 4$

Таким образом, предприятию потребуется 4 месяца, чтобы реализовать дополнительно 8125 изделий.

Ответ: 4