Номер 4.266, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.266. Найдите $b_n$ и $S_n$ для геометрической прогрессии, у которой $b_1 = -1$; $q = -\frac{2}{3}$; $n = 5$.

Для решения этой задачи необходимо использовать формулы n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.

Дано:

• Первый член прогрессии $b_1 = -1$
• Знаменатель прогрессии $q = -\frac{2}{3}$
• Количество членов $n = 5$

b_n

Формула для нахождения n-го члена геометрической прогрессии $(b_n)$ имеет вид:

$b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$

Подставим в формулу заданные значения, чтобы найти пятый член прогрессии ($b_5$):

$b_5 = -1 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{5-1} = -1 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^4$

Возведем знаменатель прогрессии в 4-ю степень. Поскольку степень четная, отрицательный знак исчезнет:

$\left(-\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{(-2)^4}{3^4} = \frac{16}{81}$

Теперь вычислим значение $b_5$:

$b_5 = -1 \cdot \frac{16}{81} = -\frac{16}{81}$

Полученная дробь является правильной, поэтому ее целая часть равна 0.

b_n Ответ: $-\frac{16}{81}$

S_n

Формула для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии $(S_n)$ имеет вид:

$S_n = \frac{b_1(1 - q^n)}{1 - q}$

Подставим заданные значения для нахождения суммы первых пяти членов ($S_5$):

$S_5 = \frac{-1 \cdot \left(1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^5\right)}{1 - \left(-\frac{2}{3}\right)}$

Вычислим по частям. Сначала возведем $q$ в 5-ю степень. Поскольку степень нечетная, знак сохранится:

$\left(-\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{(-2)^5}{3^5} = -\frac{32}{243}$

Теперь вычислим выражение в числителе:

$1 - \left(-\frac{32}{243}\right) = 1 + \frac{32}{243} = \frac{243}{243} + \frac{32}{243} = \frac{275}{243}$

Вычислим выражение в знаменателе:

$1 - \left(-\frac{2}{3}\right) = 1 + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$

Теперь подставим полученные значения в формулу для $S_5$:

$S_5 = \frac{-1 \cdot \frac{275}{243}}{\frac{5}{3}} = -1 \cdot \left(\frac{275}{243} \div \frac{5}{3}\right) = -1 \cdot \left(\frac{275}{243} \cdot \frac{3}{5}\right)$

Сократим дроби перед умножением:

$S_5 = -1 \cdot \frac{275 \cdot 3}{243 \cdot 5} = -1 \cdot \frac{55 \cdot \cancel{5} \cdot \cancel{3}}{81 \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{5}} = -1 \cdot \frac{55}{81} = -\frac{55}{81}$

Полученная дробь также является правильной, ее целая часть равна 0.

S_n Ответ: $-\frac{55}{81}$