Номер 4.272, страница 253 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.272*: Найдите сумму членов геометрической прогрессии ($b_n$) с шестого по десятый включительно, если $b_1 = \frac{1}{2}$, $q = -2$.

Для того чтобы найти сумму членов геометрической прогрессии $(b_n)$ с шестого по десятый включительно, необходимо вычислить сумму $S = b_6 + b_7 + b_8 + b_9 + b_{10}$.

Это можно сделать двумя способами. Рассмотрим наиболее прямой из них, где мы сначала найдем шестой член прогрессии, а затем, рассматривая его как первый член новой прогрессии из 5 элементов, найдем их сумму.

1. Нахождение шестого члена прогрессии ($b_6$)

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

По условию задачи, первый член прогрессии $b_1 = \frac{1}{2}$ и знаменатель $q = -2$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения $b_6$:

$b_6 = b_1 \cdot q^{6-1} = b_1 \cdot q^5 = \frac{1}{2} \cdot (-2)^5$

Вычислим степень:

$(-2)^5 = -32$

Теперь найдем значение $b_6$:

$b_6 = \frac{1}{2} \cdot (-32) = -16$

2. Нахождение суммы членов с шестого по десятый

Члены с шестого по десятый ($b_6, b_7, b_8, b_9, b_{10}$) образуют свою геометрическую прогрессию, в которой:

• Первый член: $a_1 = b_6 = -16$
• Знаменатель: $q = -2$
• Количество членов: $n = 10 - 6 + 1 = 5$

Воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии: $S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$.

Подставим значения в формулу:

$S = \frac{-16 \cdot (1 - (-2)^5)}{1 - (-2)}$

Подставляем ранее вычисленное значение $(-2)^5 = -32$:

$S = \frac{-16 \cdot (1 - (-32))}{1 + 2} = \frac{-16 \cdot (1 + 32)}{3} = \frac{-16 \cdot 33}{3}$

Сокращаем 33 и 3:

$S = -16 \cdot 11 = -176$

Ответ: -176.