Номер 4.277, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

едметы.

4.277. Решите совокупность неравенств $\begin{cases} x^2 - 6x + 5 > 0, \\ x - 2 \le 0. \end{cases}$

Для решения данной совокупности неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности, а затем найти объединение их решений. Совокупность обозначается квадратной скобкой и соответствует логической операции "ИЛИ".

$ \left[ \begin{aligned} x^2 - 6x + 5 > 0, \\ x - 2 \le 0. \end{aligned} \right. $

1. Решение первого неравенства

Рассмотрим квадратное неравенство $x^2 - 6x + 5 > 0$.

Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 6x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5$.

Функция $y = x^2 - 6x + 5$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, неравенство $x^2 - 6x + 5 > 0$ выполняется на промежутках, где график параболы лежит выше оси абсцисс, то есть вне корней.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.

2. Решение второго неравенства

Рассмотрим линейное неравенство $x - 2 \le 0$.

Перенесем 2 в правую часть неравенства:

$x \le 2$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 2]$.

3. Объединение решений

Решением совокупности является объединение множеств решений каждого неравенства:

$S = ((-\infty; 1) \cup (5; +\infty)) \cup (-\infty; 2]$.

Объединение множеств $(-\infty; 1)$ и $(-\infty; 2]$ дает множество $(-\infty; 2]$.

Таким образом, итоговое решение совокупности есть объединение $(-\infty; 2]$ и $(5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup (5; +\infty)$.