вопрос 2, страница 259 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Если в бесконечной геометрической прогрессии $|q|<1$, тогда сумма членов этой прогрессии вычисляется по формуле:

а) $S = b_1 \cdot q;$

б) $S = b_1 : q;$

в) $S = b_1 \cdot (q - 1);$

г) $S = \frac{b_1}{1 - q}$.

Выберите правильный ответ.

Сумма бесконечной геометрической прогрессии представляет собой предел суммы её первых $n$ членов при стремлении $n$ к бесконечности ($n \to \infty$).

Формула для суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии имеет вид:

$S_n = \frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$

где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

Бесконечная геометрическая прогрессия имеет конечную сумму (сходится) только в том случае, если модуль её знаменателя меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

При выполнении этого условия, член $q^n$ стремится к нулю при $n \to \infty$:

$\lim_{n \to \infty} q^n = 0$

Подставив это предельное значение в формулу суммы, получим формулу для суммы $S$ бесконечной геометрической прогрессии:

$S = \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} = \frac{b_1(1-0)}{1-q} = \frac{b_1}{1-q}$

Теперь рассмотрим предложенные варианты:

а) $S = b_1 \cdot q$
Эта формула определяет второй член геометрической прогрессии ($b_2$), а не сумму её бесконечного числа членов. Ответ: неверно.

б) $S = b_1 : q$
Данное выражение ($S = \frac{b_1}{q}$) не является формулой для вычисления суммы геометрической прогрессии. Ответ: неверно.

в) $S = b_1 \cdot (q - 1)$
Данное выражение не соответствует формуле суммы. Его можно представить как $-b_1 \cdot (1-q)$, что не является правильной формулой. Ответ: неверно.

г) $S = \frac{b_1}{1-q}$
Эта формула полностью совпадает с выведенной выше формулой для суммы бесконечной геометрической прогрессии при условии $|q|<1$. Ответ: верно.