Номер 4.286, страница 259 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.286. Найдите сумму, слагаемыми которой являются последовательные члены геометрической прогрессии:

a) $1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{16} + \frac{1}{64} + \dots;$

б) $3 - \frac{3}{5} + \frac{3}{25} - \frac{3}{125} + \dots$

а) Данная сумма представляет собой сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Это видно, так как каждый следующий член получается из предыдущего умножением на одно и то же число.

Первый член прогрессии $b_1 = 1$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/4}{1} = \frac{1}{4}$.

Поскольку модуль знаменателя $|q| = |\frac{1}{4}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по формуле:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$S = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{4-1}{4}} = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, чтобы выделить целую часть:

$\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: 1$\frac{1}{3}$.

б) Эта сумма также является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знакочередующимися членами.

Первый член прогрессии $b_1 = 3$.

Найдем знаменатель прогрессии $q$, разделив второй член на первый:

$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-3/5}{3} = -\frac{1}{5}$.

Поскольку модуль знаменателя $|q| = |-\frac{1}{5}| < 1$, прогрессия является бесконечно убывающей, и ее сумму можно найти по той же формуле:

$S = \frac{b_1}{1-q}$

Подставим значения $b_1$ и $q$ в формулу:

$S = \frac{3}{1 - (-\frac{1}{5})} = \frac{3}{1 + \frac{1}{5}} = \frac{3}{\frac{5+1}{5}} = \frac{3}{\frac{6}{5}} = 3 \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{6}$.

Сократим дробь и преобразуем ее в смешанное число, чтобы выделить целую часть:

$\frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$.

Ответ: 2$\frac{1}{2}$.