вопрос 1, страница 259 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Каждый член бесконечной последовательности, начиная со второго, меньше предыдущего в 3 раза. Эта последовательность:

а) является арифметической прогрессией;

б) является геометрической прогрессией;

в) является бесконечно убывающей геометрической прогрессией;

г) не является прогрессией. Выберите правильный ответ.

Обозначим члены данной бесконечной последовательности через $a_n$. Согласно условию, каждый член, начиная со второго, в 3 раза меньше предыдущего. Это можно выразить математической формулой:

$a_n = \frac{a_{n-1}}{3}$ для всех $n \ge 2$.

Данное рекуррентное соотношение можно переписать в виде:

$a_n = a_{n-1} \cdot \frac{1}{3}$

Это означает, что каждый последующий член последовательности равен предыдущему, умноженному на постоянное число $\frac{1}{3}$. Проанализируем каждый из предложенных вариантов.

а) является арифметической прогрессией;

Арифметической прогрессией называется последовательность, в которой разность между последующим и предыдущим членами постоянна. Эта постоянная разность называется разностью прогрессии ($d$).

Вычислим разность для данной последовательности:

$d = a_n - a_{n-1} = \frac{a_{n-1}}{3} - a_{n-1} = ( \frac{1}{3} - 1 ) \cdot a_{n-1} = -\frac{2}{3}a_{n-1}$

Разность зависит от значения предыдущего члена $a_{n-1}$ и не является константой (за исключением тривиального случая, когда $a_1=0$). Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Утверждение неверно.

б) является геометрической прогрессией;

Геометрической прогрессией называется последовательность, в которой каждый последующий член равен предыдущему, умноженному на постоянное число. Это число называется знаменателем прогрессии ($q$).

Найдем отношение последующего члена к предыдущему:

$q = \frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{a_{n-1} \cdot \frac{1}{3}}{a_{n-1}} = \frac{1}{3}$

Отношение является постоянной величиной, равной $\frac{1}{3}$. Это означает, что последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q = \frac{1}{3}$.

Ответ: Утверждение верно.

в) является бесконечно убывающей геометрической прогрессией;

Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя $q$ строго меньше единицы, то есть $|q| < 1$.

Мы уже установили, что знаменатель данной прогрессии $q = \frac{1}{3}$. Проверим выполнение условия:

$|q| = |\frac{1}{3}| = \frac{1}{3}$

Поскольку $\frac{1}{3} < 1$, условие выполняется. Следовательно, данная последовательность является бесконечно убывающей геометрической прогрессией.

Ответ: Утверждение верно.

г) не является прогрессией.

Поскольку мы доказали, что данная последовательность является геометрической прогрессией (пункт б), это утверждение неверно.

Ответ: Утверждение неверно.

Выбор правильного ответа

Мы установили, что утверждения (б) и (в) являются верными. Однако вариант (в) является более точным и полным описанием данной последовательности. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это частный случай геометрической прогрессии, который удовлетворяет дополнительному условию $|q| < 1$. В задачах с выбором ответа принято выбирать наиболее точный и полный вариант.

Таким образом, правильный ответ — в).