Номер 4.280, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.280. Какие из следующих дробей можно записать в виде конечной десятичной дроби: $\frac{2}{25}$, $\frac{7}{75}$, $\frac{4}{45}$, $\frac{3}{125}$, $\frac{11}{120}$?

Для того чтобы определить, можно ли обыкновенную несократимую дробь представить в виде конечной десятичной дроби, необходимо разложить ее знаменатель на простые множители. Если в разложении знаменателя содержатся только множители 2 и 5, то дробь можно представить в виде конечной десятичной. В противном случае дробь будет бесконечной периодической.

Проанализируем каждую из предложенных дробей, предварительно убедившись, что они несократимые.

$\frac{2}{25}$:
Дробь несократимая. Разложим знаменатель 25 на простые множители: $25 = 5^2$.
Разложение знаменателя содержит только простой множитель 5. Следовательно, эту дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби.
Проверка: $\frac{2}{25} = \frac{2 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{8}{100} = 0,08$.
Ответ: можно.

$\frac{7}{75}$:
Дробь несократимая. Разложим знаменатель 75 на простые множители: $75 = 3 \cdot 25 = 3 \cdot 5^2$.
Разложение знаменателя содержит множитель 3, который отличен от 2 и 5. Следовательно, эту дробь нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.
Проверка: $\frac{7}{75} = 0,09333... = 0,09(3)$.
Ответ: нельзя.

$\frac{4}{45}$:
Дробь несократимая. Разложим знаменатель 45 на простые множители: $45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$.
Разложение знаменателя содержит простой множитель 3. Следовательно, эту дробь нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.
Проверка: $\frac{4}{45} = 0,0888... = 0,0(8)$.
Ответ: нельзя.

$\frac{3}{125}$:
Дробь несократимая. Разложим знаменатель 125 на простые множители: $125 = 5^3$.
Разложение знаменателя содержит только простой множитель 5. Следовательно, эту дробь можно записать в виде конечной десятичной дроби.
Проверка: $\frac{3}{125} = \frac{3 \cdot 8}{125 \cdot 8} = \frac{24}{1000} = 0,024$.
Ответ: можно.

$\frac{11}{120}$:
Дробь несократимая. Разложим знаменатель 120 на простые множители: $120 = 10 \cdot 12 = (2 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 3) = 2 \cdot 5 \cdot 2^2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$.
Разложение знаменателя содержит простой множитель 3. Следовательно, эту дробь нельзя записать в виде конечной десятичной дроби.
Проверка: $\frac{11}{120} = 0,091666... = 0,091(6)$.
Ответ: нельзя.

Таким образом, в виде конечной десятичной дроби можно записать дроби $\frac{2}{25}$ и $\frac{3}{125}$.