Номер 4.282, страница 254 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.282. Верно ли, что $ \frac{1}{6} = 0,166... = 0,1(6)? $

Да, данное утверждение верно. Чтобы доказать это, необходимо проверить, что все три записи — обыкновенная дробь $ \frac{1}{6} $, бесконечная десятичная дробь $ 0,166... $ и периодическая дробь $ 0,1(6) $ — представляют одно и то же число.

1. Преобразование обыкновенной дроби $ \frac{1}{6} $ в десятичную.
Чтобы перевести дробь в десятичный вид, разделим числитель на знаменатель. $$ 1 \div 6 $$

• Делим 1 на 6. Так как 1 меньше 6, целая часть равна 0. Ставим запятую.
• Сносим 0, получаем 10. Делим 10 на 6. $ 10 \div 6 = 1 $ и остаток 4. Первая цифра после запятой — 1.
• К остатку 4 сносим 0, получаем 40. Делим 40 на 6. $ 40 \div 6 = 6 $ и остаток 4. Вторая цифра после запятой — 6.
• Процесс повторяется: мы снова делим 40 на 6 и получаем 6 в частном и 4 в остатке.

Это означает, что цифра 6 будет бесконечно повторяться. Таким образом, мы получаем бесконечную периодическую десятичную дробь: $$ \frac{1}{6} = 0,1666... $$ Запись $ 0,166... $ с многоточием как раз и обозначает эту бесконечную дробь.

2. Значение записи $ 0,1(6) $.
Запись $ 0,1(6) $ — это стандартная форма для смешанной периодической дроби. В ней:

• 1 — это неповторяющаяся часть десятичной дроби (стоит между запятой и периодом).
• (6) — это период дроби, то есть цифра, которая бесконечно повторяется.

Следовательно, по определению, запись $ 0,1(6) $ представляет число $ 0,1666... $.

3. Вывод.
Мы показали, что:

• $ \frac{1}{6} $ равно $ 0,1666... $
• $ 0,166... $ — это запись числа $ 0,1666... $
• $ 0,1(6) $ — это также стандартная запись числа $ 0,1666... $

Все три выражения являются разными формами записи одного и того же числа. Следовательно, равенство $ \frac{1}{6} = 0,166... = 0,1(6) $ является верным.

Ответ: Да, утверждение верно.