Номер 4.285, страница 259 - гдз по алгебре 9 класс учебник Арефьева, Пирютко

4.285. Составьте план решения и найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

а) 100; 10; 1; ...;

б) 0,2; 0,02; 0,002; ...;

в) 9; -4,5; 2,25; ...;

г) -3; -2; $- \frac{4}{3}$; ...

План решения:

1. Определить первый член геометрической прогрессии ($b_1$).
2. Найти знаменатель прогрессии ($q$), разделив второй член на первый: $q = \frac{b_2}{b_1}$.
3. Убедиться, что прогрессия является бесконечно убывающей, проверив условие $|q| < 1$.
4. Если условие выполняется, вычислить сумму прогрессии по формуле $S = \frac{b_1}{1 - q}$.
5. Если полученный результат — неправильная дробь, выделить из неё целую часть.

а) 100; 10; 1; ...

• Первый член прогрессии: $b_1 = 100$.
• Знаменатель прогрессии: $q = \frac{10}{100} = 0.1$.
• Проверка условия: $|q| = |0.1| = 0.1 < 1$. Условие выполняется.
• Вычисление суммы: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{100}{1 - 0.1} = \frac{100}{0.9} = \frac{1000}{9} = 111\frac{1}{9}$.

Ответ: 111$\frac{1}{9}$.

б) 0,2; 0,02; 0,002; ...

• Первый член прогрессии: $b_1 = 0.2$.
• Знаменатель прогрессии: $q = \frac{0.02}{0.2} = 0.1$.
• Проверка условия: $|q| = |0.1| = 0.1 < 1$. Условие выполняется.
• Вычисление суммы: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{0.2}{1 - 0.1} = \frac{0.2}{0.9} = \frac{2}{9}$.

Ответ: $\frac{2}{9}$.

в) 9; -4,5; 2,25; ...

• Первый член прогрессии: $b_1 = 9$.
• Знаменатель прогрессии: $q = \frac{-4.5}{9} = -0.5$.
• Проверка условия: $|q| = |-0.5| = 0.5 < 1$. Условие выполняется.
• Вычисление суммы: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{9}{1 - (-0.5)} = \frac{9}{1.5} = 6$.

Ответ: $6$.

г) -3; -2; $-\frac{4}{3}$; ...

• Первый член прогрессии: $b_1 = -3$.
• Знаменатель прогрессии: $q = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3}$.
• Проверка условия: $|q| = |\frac{2}{3}| < 1$. Условие выполняется.
• Вычисление суммы: $S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{-3}{1 - \frac{2}{3}} = \frac{-3}{\frac{1}{3}} = -9$.

Ответ: $-9$.